高速フーリエ変換での質問

質問

高速フーリエ変換を勉強している者ですが、数式がさっぱり分からない状態です。
高速フーリエ変換を理解するには高校数学くらいだと何を学べばいいんでしょうか？
それだと足りないと思うので、それ以外に何を理解する必要があるのでしょうか？
学んだばかりで正直全くわからない状態でのスタートなのですがよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

（１）三角関数cos, sinの基本知識
　任意の整数nについて、y=sin(nx), y=cos(nx)のx=-2π～2πの範囲のグラフが描けること。
　cos, sinの加法定理と、それを応用して得られるcos, sinの積の公式を知っていること。

（２）複素数の基礎知識
　複素数同士の和・差・積ができること。
　複素数cの共役複素数c*がわかること。cとc*との積を計算すること。

（３） 「オイラーの公式」：複素数(a+ib) (a,bは実数)について、
　　e^(a+ib) = (e^a)(cos(b) + i sin(b))
　これを使って、cos, sinの加法定理とcos, sinの積の公式を導いてみること。

（４）「三角関数の直交性」：正の整数Nと負でない整数p, qについて
　　Σ{k=0～N-1}sin(2π(pk/N)) sin(2π(qk/N)) = (p=qのときN, p≠qのとき0)
　　Σ{k=0～N-1}cos(2π(pk/N)) cos(2π(qk/N)) = (p=qのときN, p≠qのとき0)
　　Σ{k=0～N-1}sin(2π(pk/N)) cos(2π(qk/N)) = (p=qのときN, p≠qのとき0)

　この程度で何とかなるんじゃないかな。

お礼

回答ありがとうございます。
三角関数の直行性とオイラーの公式が必要なのは知りませんでした。

微積分は必要なんでしょうか？

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについて。

　直交性です。「直行性」じゃありません。
　FFTのアルゴリズムを学ぶだけなら微積分はできなくても済みます。
　しかし、微積分なしで、従ってフーリエ変換を知らずにFFTのアルゴリズムだけ学ぶというのは、健全とは到底言えない。自転車に補助輪を付けている人が大型バイクを買ってもしょうがないのと似たような話です。
　フーリエ変換は積分で定義され、また、フーリエ変換で畳み込み積分や微分演算をかけ算に変えてしまえることが重要な特長です。だからFFTも微積分とは非常に密接な関係にあります。なので、難しい積分をやるための技巧を知る必要はないけれども、微積分とは一体何かという基本の知識と、基本的な計算（特に1, x, cos x, sin x, e^xの微分と積分）ができる技能は（後からでもいいから）学ぶべきです。

お礼

回答ありがとうございます。
今は高校の範囲の微積分から始めています。
微積分だけでない範囲の把握ができて助かります。
微積分は基本を押さえた程度でいいんですね。
音関連の数式をみても微積分だけでは理解は難しいと感じていたので納得が行きました。　微積分以外ではどのようなところを押さえればいいのか悩んでいました。

回答No.1

hashioogi

私も完全に理解している訳ではありませんが、
フーリエ変換ですから勿論三角関数は理解している必要がありますが、それ以外に複素数の乗除算が複素平面では角度の加減と絶対値の乗除として図形的に計算できるということを理解すれば良かったでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
複素平面での角度加減と絶対値の乗除などですね。
参考になります。

テイラー展開？とかマクローリン級数展開tかありましたよね？
あそこらへんさっぱりです。