解説お願いします。

質問

中心が(1,1)で半径１の円をCとする。
直線y=x/2に関して、円Cと対称な円C'の方程式を求めよ。

解答
(x-7/5)^2+(y-1/5)^2=1

解法をよろしくお願いします。
途中過程を教えていただけるともっとありがたいです！

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞中心が(1,1)で半径１の円をCとする。
＞直線y=x/2に関して、円Cと対称な円C'の方程式を求めよ。

円Ｃ'の中心は、ｙ＝ｘ／２に関して対象な位置にあればいいです。
円Ｃ'の中心を（ｐ，ｑ）とする。
ｙ＝ｘ／２より、ｘ－２ｙ＝０……（１）　この直線と中心（１，１）までの距離は、
距離の公式より、
｜１－２×１｜／√１^2＋（－２）^2＝｜－１｜／√５＝１／√５
中心（ｐ．ｑ）から（１）までの距離も同じだから、
中心間の距離は、２／√５だから、
（ｐ－１）^2＋（ｑ－１）^2＝（２／√５）^2　……（２）
２つの中心の中点は、ｘ＝(1/2)（ｐ＋１），ｙ＝(1/2)（ｑ＋１）
これは（１）を通るから、代入して、
(1/2)（ｐ＋１）－２×(1/2)（ｑ＋１）＝０
（ｐ＋１）－２（ｑ＋１）＝０より、ｐ＝２ｑ＋１
（２）に代入して、
（２ｑ）^2＋（ｑ－１）^2＝４／５
２５ｑ^2－１０ｑ＋１＝０
（５ｑ－１）^2＝０より、ｑ＝１／５
ｐ＝２×（１／５）＋１＝７／５

図を描いて考えてみて下さい。

お礼

ありがとうございました！
もう一度自分でもやってみます。

回答No.3

mister_moonlight

なんで面倒な解法を、わざわざするのかな、それで回答者か。。。。。ｗ

対称な円の半径は同じだから、その中心を(α、β)とすると、
満たすべき条件は　(1)　2点の中点が　直線y=x/2　上にある。(2)　2点を通る直線と　直線y=x/2が直角に交わる。

(1)　中点は{(α＋1)/2、(β＋1)/2}だから　β＋1＝(α＋1)/2
(2)　1/2の傾きと直角に交わるから　(β-1)/(α-1)＝-2

(1)と(2)の　β＋1＝(α＋1)/2　と　(β-1)/(α-1)＝-2　を連立すれば答はすぐ出る。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます！
助かりました！

回答No.1

metabolian

円C’は円Cと対称な図形なので、半径は1で同じです。
あとは中心（p,q）が分かれば

円C’：(x-p)^2+(y-q)^2=1

に（p,q）を代入するだけです。

で、中心（p,q）の求め方ですが、
「円C’は円Cとy=x/2に関して対称」ということは
「円C'の中心o'（p,q）と円Cの中心O（1,1）の中点が直線y=x/2上」であり、
「OO'が直線y=x/2と垂直」
ということになります。

※絵を描いてみましょう。

お礼

図を描いて考えると分かりやすいんですね！
自分でやってみます！
ありがとうございました。