積分について（初歩的ですみません）

質問

S(x)=∫a→xf(t)dtとしたときS'(x)=f(x)
となる、と参考書に載っていましたが

S(x)=∫x→π cosθdθ
S(x)=∫2→3x (u+1)^5dt

の場合S'(x)はどうでしょうか？
直接入れてみたら答えと違うし・・・。
う～ん、分かりません。答えを見てみると余計にこんがらがってしまいます。どなたか、説明仕立てで教えていただけないでしょうか？
ちなみに答えは
-cosxと3(3x+1)^5です。お願いします。

回答No.5

waseda2003 · ベストアンサー

kaoruryoujiさんの答案がないので推測でしかありませんが，答と会わないのは，どこかで公式の適用ミスがあるからだと思います。
公式を使えるようにするには，証明するなどして構造を実感することが大事です。

わかりやすくするために，積分区間をg(x)→h(x)（g(x)，h(x)は微分可能な関数）として，公式の確認をしてみましょう。
f(x)の原始関数の一つをF(x)（つまりF'(x)=f(x)）とすると，

S(x)=∫{g(x)→h(x)} f(t)dt = F(h(x))-F(g(x))

ですから，合成関数の微分の公式より

S'(x)= F'(h(x))h'(x)-F'(g(x))g'(x)
= f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x)　・・・・・・(*)

特に，g(x)=a（定数），h(x)=xのときが上にある公式の内容ですね。∫(x→π) cosθdθ，∫(2→3x) (t+1)^5dt の各場合は公式通りの形ではないので，変形をするか，（公式に頼らずに）基本に戻る必要があります。

（１問め）S(x)=∫(x→π) cosθdθ = -∫(π→x) cosθdθ と直して公式を適用すると，

S'(x)=-cos x

（２問め）S(x)=∫(2→3x) (t+1)^5dt は公式通りの形ではないので，基本の(*)に戻って計算します。

S'(x)=(3x+1)^5 *(3x)'= 3(3x+1)^5

回答No.4

ONEONE

＃１です。
f(x) = ∫[h(x)～I(x)] g(t) dt
ならば
f´(x) = g(I(x))I´(x)-g(h(x))h´(x)
の証明しときます。

g(t)の不定積分を
∫ g(t) dt = G(t) + C (Cは定数)
とすると
G´(t)=g(t)であり
∫[h(x)～I(x)] g(t) dt = G(I(x)) - G(h(x))
となる．
f(x) = G(I(x)) - G(h(x))とおくと

f´(x) = G´(I(x))I´(x)-G´(h(x))h´(x)
　　　 = g(I(x))I´(x)-g(h(x))h´(x)

回答No.3

KENZOU

＞S(x)=∫a→xf(t)dtとしたときS'(x)=f(x)
となる、と参考書に載っていましたが

これは不定積分と定積分の関係を示す公式ですね。
　S(x)＝∫[a,x]f(t)dt　⇔　S'(x)＝f(x)　　　(1)
ここで積分範囲の
　○下限がa(定数)、
　○上限が変数x
となっている点に注意してください（←後ででてくる）。
＜与式１＞
　S(x)=∫[x,π]cosθdθ＝∫[π,x](-cosθ)dθ　(2)
となりますね。ここで積分範囲の上限下限を入れ替えているところに注意してください（→符号がひっくりかえる）。さて、(2)と(1)と見比べると
　f(x)＝-cosx
となっていることが分かりますね。従って
　S'(x)＝-cosx
となります。
<与式２＞
　S(x)=∫[2,3x](u+1)^5du　　(3)
○の注意によれば積分の上限は変数xでした。与式2は上限が3xとなっているので
　3x＝t　　(4)
と変数変換してやります。すると(3)は
　S(t/3)＝∫[2,t](u+1)^5du　　(4)
となって、再び(1)と見比べると
　dS(t/3)dt＝(dS(x)/dx)(dx/dt)＝(t+1)^5　(5)
となりますね（d/dt＝(d/dx)(dx/dt)という関係を使う）
。ところで(4)より
　dx/dt＝1/3　　(6)
ですから(5)は
　(dS(x)/dx)(dx/dt)＝(dS(x)/dx)(1/3)＝(3x+1)^5
となって
　S'(x)＝3(3x+1)^5
となります。

回答No.2

rei00

お書きのものくらいなら，素直に積分して微分しても簡単だと思いますが・・・。

> S(x)=∫x→π cosθdθ

　S(x) = [sinθ](x→π）= sin(x)
　∴ S'(x) = -cos(x)

> S(x)=∫2→3x (u+1)^5dt

　S(x)=∫2→3x (t+1)^5dt ですね。すると，

　S(x) = [(1/6)(t+1)^6](2→3x)
　　　　= (1/6)[3^6-(3x+1)^6]
　∴ S'(x) = (1/6)・[6(3x+1)^5]・3
　　　　　　= 3(3x+1)^5

こんな考え方もできます。

　『S(x)=∫a→xf(t)dtとしたときS'(x)=f(x)』と違うのは，積分範囲が「定数→x」じゃない点です。ですので，この形に合わせましょう。

　　S(x)=∫(x→π) cosθdθ=∫(π→x) -cosθdθ
　∴ S'(x) = -cos(x)

　S(x)=∫2→3x (t+1)^5dt で 3x の 3 をなくすために t/3=y の変数変換を行ないます。すると，dt=3dy, t=3x で y=x ですから，

　　S(x) =∫(2→3x) (t+1)^5dt
　　　　　=∫(2→x) 3(3y+1)^5dy
　∴ S'(x) = 3(3x+1)^5

回答No.1

ONEONE

f(x) = ∫[h(x)～I(x)] g(t) dt
の場合
f´(x) = g(I(x))I´(x)-g(h(x))h´(x)
というのを覚えておくといいですよ。