数III 積分教えてください

質問

∫e^x * log(e^x+1)dx

答え　(e^x+1)log(e^x+1)-e^x+C

f(x)=log(e^x+1)
g´(x)=e^x
としましたが、うまくいきません。
解き方を教えてください。
詳しいとありがたいです。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

∫e^x * log(e^x+1)dx

答え　(e^x+1)log(e^x+1)-e^x+C

f(x)=log(e^x+1)
g´(x)=e^x
＞としましたが、うまくいきません。
その方法でできます。
f'（ｘ）＝ｅ^x／（ｅ^x＋１）
ｇ（ｘ）＝ｅ^x
∫e^x * log(e^x+1)dx
＝ｅ^xlog(e^x+1)－∫（ｅ^x・ｅ^x）／（ｅ^x＋１）ｄｘ

２項めの積分を置換積分
ｔ＝ｅ^xとおくと、ｅ^xｄｘ＝ｄｔ
∫（ｅ^x・ｅ^x）／（ｅ^x＋１）ｄｘ
＝∫｛ｔ／（ｔ＋１）｝ｄｔ
＝∫｛１－１／（ｔ＋１）｝ｄｔ

後は計算してみて下さい。

回答No.3

info22_

合成関数の積分公式を適用するなら
f(x)=log(x+1),g(x)=e^x　とすると
F(x)=∫f(x)dx=∫1*log(x+1)dx
部分積分して
F(x)=(x+1)log(x+1)-∫(x+1)/(x+1)dx=(x+1)log(x+1)-x
g'(x)=e^x
より

I=∫(e^x)*log(e^x+1)dx
=∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C
=(e^x+1)log(1+e^x)-e^x +C

と得られます。

回答No.2

rnakamra

最初から置換積分でやってみましょう。
t=e^x とおくとdt/dx=e^x ですので
∫e^x*log(e^x+1)dx=∫log(t+1)dt=(t+1)log(t+1)-t+C
となります。(log(t)の積分の公式を覚えていなければここからさらに部分積分を行います)
ここでt=e^xと戻すと答えの式が得られます。