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X^5=1の解
三角関数を用いた解が教科書に載っているのですが、これは覚えるようなものなのでしょうか？
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#１です。 A#1の補足質問について >e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5) これはわかるのですが >e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)はどうして４になるのでしょうか？ オイラーの公式 e^(iθ)=cosθ+isinθ は常に成り立つ関係だから θを θ=±2π/5と置いても、θ=±4π/5と置いても 成り立ちます。 ２で成り立つことが分かっていて、４で成り立つことが分からないとは、何か勘違いしてませんか？ あるいは >x=e^(i2nπ/5) から、以下が導かれることが分からないでしょうか？ >x=1, > e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5) > e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5) n=0とおけば x=e^0=1 n=±1とおけば x=e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5) n=±2とおけば x=e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5) （これ以上の|n|に対してはどれかに重なるだけ、５乗解は５個しかないから上のどれかと重なるだけ。） n=±1の場合だけ分かり、n=±2の場合が分からないということでしょうか？
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- stomachman
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X^5=1はどうでもいい。しかし、X^n=1の解法は、数学には珍しく「おぼえるようなもの」だと思いますね。多項式を複素数の範囲で扱うと、しょっちゅう出て来るからです。ただし、「三角関数を用いた解」だなんて認識では憶えてもしょうがない。既に回答が上がっている通り、オイラーの定理の基本的な応用のひとつとしておぼえるんです。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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No.3 です。またやってしまいました。オンラインで書いたのでミスってます。 (誤)θ=(1/5)n (正)θ=2π(1/5)n ついでに 補足 a, b を複素数とすると |ab|=|a|・|b| だから |x^5| = |x|^5 = 1 ⇒ |x| = 1 なので x はガウス平面で原点を中心とする単位円の上にあります。 x = e^(iθ) なら x^5= e^(i5θ) なので 5θ = 2πn(nは整数) を解けばよいことになります。
お礼
回答ありがとうございます
- mister_moonlight
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＞これは覚えるようなものなのでしょうか？ 憶えるようなことではなく、そこで語られている事を理解して、その応用ができることが必要。 暗記は最悪。 ｜X｜＝1から X＝cosθ＋i*sinθ と置ける。 よって、ド・モアブルの定理から、X＾5＝cos5θ＋i*sin5θ＝1. cos5θ＝1、sin5θ＝0から nを整数として、5θ＝2nπ。 つまり、X＝cos(2nπ/5)＋i*sin(2nπ/5) これは、単位円において 中心角が全て2π/5の5つの二等辺三角形で作られている正５角形を表している。
お礼
これだと解が２つしかでないとおもうのですが、1とこの二つ以外はどうやって出せるのでしょうか？ 暗記というよりは、たとえば解の公式のように、暗記は論外だが覚えておかないと話しにならないみたいなものなのかということです。
補足
ごめんなさい 勘違いです。 これでnに１－５を代入して解を出すってことですね
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
公式を覚えるよりもオイラーの定理を覚えたほうがよいでしょう、 オイラーの定理からはほとんど自明です。 exp(iθ) = cosθ + i・sinθ これから θ=(1/5)n (n = 0～4) が解であることは幾何学的な 推測から直ぐに解ります。
お礼
回答ありがとうございます
1を極形式で表す。
お礼
回答ありがとうございます。
- info22_
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すぐ導出できるようにしておけば、覚える必要はないでしょう。 僕は２通りの解き方しか覚えていません [１つ目] x^5 -1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0 x=1 と x^4+x^3+x^2+x+1=0 左辺対称式なので x≠0よりx^2で割り、x+(1/x)=tとおく。 x^2＋(1/x^2)+x+(1/x)+1=0 t^2 +t-1=0 t=(-1-+√5)/2=x+(1/x) 2xを掛けて 2x^2+(1+-√5)x +2=0 x=(-1-+√5+i√(10-+2√5))/4, (-1-+√5-i√(10-+2√5))/4 (複符同順) x=1と2組みの↑の共役複素数解 [２つ目] x^5=1=e^(i2nπ) x=e^(i2nπ/5) x=1, e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5) , e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5) (複符同順) 複素座標上の単位円の円周をz=1を基準点として5等分した５個の点のz=x+iyが解 ということになる。 以上の2通りの解法は、直ぐ解けるようにしておけば、敢えて解や答えを丸暗記 する必要はないでしょう。
お礼
e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5) これはわかるのですが e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)はどうして４になるのでしょうか？
お礼
回答ありがとうございます。