極限値の問題

質問

lim(x→1){(x＾2＋ax＋b)/(x-1)}=3を満たす定数a,bを求めよ

という問題なんですが
lim(x→1)（x-1）=０であるから
lim(x→1)（x＾2＋ax＋b）＝０
解答にはこのように始まっているのですが
この命題の解釈を
「xは１になるのでそれだと分母が０になってしまい、０での除法は数学的にありえないので
分子も０になるしかない」
とこんな感じに僕なりにしてみたんですがあっているでしょうか？

それと
微分の問題をある程度やっていて、それなりに解けるようになってきたんですが
未だに極限値というのが微妙な理解です、テキストを読んでも難しい言葉で書かれており、何がなにやらというのが本音です。

今僕が考えている極限値というのは、３次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線というちょっとわけのわからない理解なんですが
極限値とはなんなのかという簡単な解説をよろしくお願いします。

回答No.4

eclipse2maven

＞No.3

＞m[x→1]f(x) と lim[x→1]g(x) がどちらも収束するとき、
l＞im[x→1]f(x)g(x) は収束して、その極限は
＞= ( lim[x→1]f(x) )( lim[x→1]g(x) ) であることから、

まちがってます。　　０では割れません

回答No.3

alice_44

よくある例題で、背理法で説明することが多いけれど、
もっとシンプルに、積の極限は極限の積であること、つまり、
lim[x→1]f(x) と lim[x→1]g(x) がどちらも収束するとき、
lim[x→1]f(x)g(x) は収束して、その極限は
= ( lim[x→1]f(x) )( lim[x→1]g(x) ) であることから、
f(x) = (xx+ax+b)/(x-1),　g(x) = x-1 と置けばいいんじゃない？

回答No.2

eclipse2maven

分子を　f(x) とおきます

f(1)が０でないとする
lim(x→1){(x＾2＋ax＋b)/(x-1)　は無限大に発散する。従って３に収束しない。

よって背理法により　f(x)=0

従って　0=f(1)=1+a+b

よって　b=-a-1

f(x)=x~2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)

(x＾2＋ax＋b)/(x-1)=x+a+1

lim(x→1){(x＾2＋ax＋b)/(x-1)}=lim(x→1) x+a+1 = 2+a

よって　a+2=3 　ゆえに　a=1 b=-2

回答No.1

asuncion

私は、次のように考えます。邪道かもしれませんけれど。
lim(x→1)の極限値が3であるということは、分子はx+2を因数に持つ。
分母のx-1が分子にもあると、約分できてうれしい。
よって、分子は(x+2)(x-1)ではないか、と考える。
(x+2)(x-1)=x²+x-2
∴a=1,b=-2

＞今僕が考えている極限値というのは、３次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線

極大値や極小値とゴッチャになっていませんか？

お礼

今極限と極限値に対して調べたらNo,1さんの言ってることが理解できました！
本当今まで基礎が全然ないまま、応用だけをいれていたのでようやく繋がったって感じがします！
色々な考え方があるものですね・・・

それはそうとなんですが
僕が書いていることは間違いではないんでしょうか？

よろしくお願いします。