群の積集合からの写像について

質問

Gを０を零元とする群とします。

写像　F:G×G→G　がF(0,0)=0、F(a,b)=F(b,a)を満たすとき、成り立つ性質はどのようなものがあるでしょうか。

回答No.3

OurSQL · ベストアンサー

> 2つ目の条件について、
> 任意の a, b, c, d ∈ G に対して F(a + c, b + d) = F(a, b) + F(ｃ, d)
>だったら、どうでしょうか。

(G, +, 0) は可換群ですが、(a, b), (c, d) ∈ G × G に対して、(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) と定義すると、(G × G, *, (0, 0)) も可換群になります（御自身で確認してください）。

このとき、F: G × G --> G　は群準同型写像になります（これも簡単なので、御自身で確認してください）。

回答No.2

OurSQL

> 任意のa、b∈G　に対して、F(a,b)=(b,a)が成り立ち、他に
F(a, b) = (b, a) という部分は、F(a, b) = F(b, a) でよろしいでしょうか。

また、

> 任意のa、b、c、ｄ∈Gに対し、F(a+ｃ,b+ｄ）=F(a,b)+F(b,d)
この部分は、間違いないですか。
また、+ という演算が登場していますが、最初の群を (G, +, 0) と考えるということでよろしいでしょうか。
任意の a, b, c, d ∈ G に対して F(a + c, b + d) = F(a, b) + F(b, d) が成り立つならば、面白いことになります。

任意の x, y ∈ G に対して、

F(x, y)
= F(0 + x, 0 + y)
= F(0, 0) + F(0, y)
= 0 + F(0, y)
= F(0, y)
= F(y, 0)
= F(0 + y, 0 + 0)
= F(0, 0) + F(0, 0)
= 0 + 0
= 0

この場合でも、任意の a, b, c ∈ G に対して F(F(a, b), c) = F(a, F(b, c)) は成り立つので、(G, F) は半群にはなります。
しかし、G が 0 に等しくない元を持つとすれば、(G, F) は群にはなりません。

補足

早々にありがとうございます。
議論の仕方がとてもよくわかりました。

F(a,b)=F(b,a)でした。大変失礼しました。

2つ目の条件について、　
任意の a, b, c, d ∈ G に対して F(a + c, b + d) = F(a, b) + F(ｃ, d)

だったら、どうでしょうか。今一つお願いします。

回答No.1

OurSQL

> Gを０を零元とする群とします。
G が群であることと写像 F は、何か関係があるのでしょうか。
例えば、(G, F) が群で、0 がその零元（単位元）といったような。
もしそうなら、F(0, 0) = 0 が成り立つのは当たり前なので、問題文中に分かりきったことが書かれているのは不自然です。
また、F(a, b) = F(b, a) が成り立つとありますが、a や b は G の任意の元なのか、それとも特定の元なのか、どちらなのでしょう。
そういった情報がないと、何ともお答えしてみようがありません。

補足

失礼しました。

任意のa、b∈G　に対して、F(a,b)=(b,a)が成り立ち、他に
任意のa、b、c、ｄ∈Gに対し、F(a+ｃ,b+ｄ）=F(a,b)+F(b,d)

が成り立ちます。