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- MarcoRossiItaly
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No.1～3さんのご回答で、理由はご理解いただけたかと思います。 若干の補足情報を。 マクローリン展開は、テイラー展開と呼ばれる各種関数を無限級数に書き換える作業の、特別な場合（θ≒0の場合）の式です。 sinθ=θ-(1/3!)θ³+(1/5!)θ⁵-(1/7!)θ⁷+(1/9!)θ⁹-… （文字化け対策 sinθ=θ-(1/3!)θ^3+(1/5!)θ^5-(1/7!)θ^7+(1/9!)θ^9-…） 物理学などでは、「微小な量の2乗以上は0」とする近似がよく行われます。 θでさえ極めて小さいのだから、θ^2ともなれば、無視してもいいくらい十分に小さいだろうとの考え。 (10⁻³)²=10⁻⁶などと具体的に計算してみれば、確かにそうだなと思いますね？ （(10^(-3))^2=10^(-6)） このことを上の式に摘要すれば、θ^3以降が全部なくなるから、θ≒0のときsinθ≒θとできるのですね。 cosθ、tanθについては、cos0=1、tanθ=sinθ/cosθだから、質問文のとおりの近似で良さそうですね？
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
x-y平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き、さらに 原点Oを通りx軸との角度θの直線を描いて、円と直線との 交点をP、Pからx軸に下ろした垂線の足をQとして下さい。 又、点(1,0)(これをRとします)を通るx軸に垂直な直線を 描き、OPの延長線との交点をSとして下さい。 このとき、cosθ=OQ/OP=OQ/1=OQです。θが0に近づくと 点QはRに近づき、従ってOQが1に近づくので、θが微小の ときはcosθ=OQ≒1となります。 次に△OPQの面積と中心角θの扇形の面積と△OSRの面積を 比較すると、 △OPQの面積＜中心角θの扇形の面積＜△OSRの面積となって います。ここで△OPQの面積=(1/2)*OQ*PQ=(1/2)cosθsinθ、 中心角θの扇形の面積=(θ/2π)*π*1^2=θ/2、 △OSRの面積=(1/2)*OR*SR=(1/2)tanθ、です。従って (1/2)cosθsinθ＜θ/2＜(1/2)tanθとなり、各辺に2/sinθ を掛けると cosθ＜θ/sinθ＜1/cosθとなり、上でみたようにθが0に 近づくとcosθは1に近づくので、cosθ＜θ/sinθ＜1/cosθ の両側が1に近づき、従って両側に挟まれた従ってθ/sinθも 1に近づくので、θが微小のときはsinθ≒θとなります。 tanθはsinθ/cosθですから、以上の結果からθが微小の ときはtanθ≒θとなります。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6286)
＞cosθ≒1 こちらについては、y=cosθのグラフを見ると、ある程度想像がつくような気がします。
さまざまな説明があるでしょうけど、マクローリン展開（0近傍でのテイラー展開）での1次までの近似という理解もあるでしょうね。 http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin2.htm http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin3.htm
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