数学の質問です

質問

３点A、B（２，１）、C（４，５）を頂点とする△ABCがAB=AC=5である二等辺三角形のとき、頂点Aの座標を求めよ。

解説と答えまでお願いします。

回答No.2

badmtks · ベストアンサー

以下では3の２乗を3^2と表すことにします。

点Aの座標を(x,y)とします。

三平方の定理より、
(2-x^2)^2+(1-y^2)^2=5^2・・・(1)
また、
(4-x^2)^2+(5-y^2)^2=5^2・・・(2)

(1)、(2)より、
(2-x^2)^2+(1-y^2)^2=(4-x^2)^2+(5-y^2)^2
展開して整理して
x=-2y+9・・・(3)

(3)を(1)（または(2)）に代入して整理すると、
5y^2-30y+25=0
y^2-6y+5=0
(y-1)(y-5)=0
よってy=1,5

y=1のとき、(3)よりx=7
y=5のとき、(3)よりx=-1

ゆえに点Aの座標は、(7,1),(-1,5)

回答No.7

yyssaa

直線BCはy=2x-3
BCの中点を通ってBCに垂直な直線はy=-(1/2)x+9/2
この直線上でBとの距離が5となる点がA(x,y)。
5^2=(x-2)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+{-(1/2)x+7/2}^2
=(x-2)^2+1/4(7-x)^2
100=4(x^2-4x+4)+x^2-14x+49
5x^2-30x-35=0、x^2-6x-7=(x-7)(x+1)=0
x=7,y=-(1/2)x+9/2=-7/2+9/2=1
x=-1,y=1/2+9/2=5
よってA(7,1)とA(-1,5)

回答No.6

asuncion

＞(2-x^2)^2+(1-y^2)^2=5^2・・・(1)
＞(4-x^2)^2+(5-y^2)^2=5^2・・・(2)

素直に展開すると、x⁴やy⁴が登場して、おかしなことになると思います。

回答No.5

noname#157574

【ヒント】AB=AC=5 から AB²=AC²=5²=25
点 A の座標を (x，y) とおいて 2 点間の距離公式を適用

回答No.4

Tacosan

方眼紙に書いたら (7, 1), (-1, 5) になった.

回答No.3

info22_

A(x,y)とおくと
AB=√{(x-2)^2+(y-1)^2}=5
２乗して
(x-2)^2+(y-1)^2=25 ...(1)

AC=√{(x-4)^2+(y-5)^2}=5
２乗して
(x-4)^2+(y-5)^2=25 ...(2)

(1)-(2)より
4x-12+8y-24=0
x=9-2y ...(3)
(1)に代入
(7-2y)^2+(y-1)^2=25
5y^2-30y+25=0
y^2-6y+5=0
(y-1)(y-5)=0
y=1,5
(3)に代入してxを求めるとA(x,y)の座標は２通りあり
A(x,y)=(7,1),(-1,5)
の２点。

回答No.1

asuncion

さしあたり、ご自分でどこまで考えられているかを示していただけますでしょうか。