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数学です
真夜中にどうもこんばんわ 毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして… 考えていたらこんな時間になってしまいましたっ ですので、回答解説お願いします…! lim[x→0]{√(9-8x+7cos2x)-(a+bx)}/x^2が有限の値となるように、定数a,bを求めなさい
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x→0のとき分母→0なので有限の極限値を持つためには 分子→0でなければならない。 x→0の時 分子→√(9-0+7cos0)-(a+0)=4-a=0 ∴a=4 a=4(必要条件)とすると lim[x→0]{√(9-8x+7cos(2x))-(4+bx)}/x^2 分子の有理化をすると =lim[x→0]{(9-8x+7cos(2x))-(4+bx)^2}/[(x^2){√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}] =lim[x→0]{9-8x+7cos(2x)-(16+8bx+b^2*x^2)}/[(x^2){√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}] =lim[x→0] -[8(b+1)+7{(1-cos(2x))/x}+b^2*x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}] =lim[x→0] -[8(b+1)+7{(sin(x)/x)^2}x+b^2*x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4+bx)}] x→0のとき分母→0なので有限の極限値を持つためには 分子→0でなければならない。 x→0の時 分子→8(b+1)+7*0+0=0 ∴b=-1 b=-1(必要条件)とすると =lim[x→0] -[0+7{(sin(x)/x)^2}x+x]/[x{√(9-8x+7cos2x)+(4-x)}] =lim[x→0] -[7{(sin(x)/x)^2}+1]/{√(9-8x+7cos2x)+(4-x)} =-(7+1)/{√(9+7)+4}=-8/8 =-1 となって有限な極限値-1が存在する(十分条件であることが確認できた)。 従って、a=4,b=-1 であれば良い(必要十分条件)。
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