解析(連続)の問についておねがいします。

質問

ｆは区間[０、π]で微分可能。０では右微分係数ｆ‘₊(０)、πだは左微分係数ｆ‘₋(π)が存在する。また、ｆ(０)＝ｆ(π)＝０を満たしている。
　ｘ∊(０、π)に対して、ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)／ｓｉｎｘ、また、ｈ(ｘ)＝ｇ‘(ｘ)ｓｉｎｘとする。

　問１
　ｇ(０)＝ｌｉｍｇ(ｘ)　(※ｘ↓０)、ｇ(π)＝ｌｉｍｇ‘(π－ｘ)　(※ｘ↓０)
を求めよ。また、ｇが[０、π]で連続となることを示せ。
　問２
　問１の答えを用いて、ｈ(０)＝ｌｉｍｈ(ｘ)　(※ｘ↓０)、ｈ(π)＝ｌｉｍｈ(π－ｘ)　(※ｘ↓０)を計算し、ｈも[０、π]で連続となることを確かめろ。

　よろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

問１
g が (0,π) で連続であることは、ほぼ自明。
f が微分可能より連続であることと、
sin が連続かつ(0 ではない)ことから、
連続の定義に沿ってゴタゴタ論じてもよい。
g は、もともと 0,π では定義されていないが、問１にあるように lim を使って追加するのなら、
その二つの lim が収束しさえすれば
[0,π] で連続と言える。
あとは、ロピタルの定理でも使って lim を求めればよい。

問２
上記と同様の理由で、lim[x→+0]h(x) と
lim[x→π-0]h(x) が収束することを言えば終わる。
(0,π) で h(x)=f'(x)+g(x)(cos x) であることから、
二つの lim を計算してしまえばよい。