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積分の計算
積分I=∫[-∞→∞]exp(-ax^2)dx の計算を極座標を用いて計算するらしいのですが、 I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy =exp(-ar^2)rdrdθ とするまでは分かったのですが、積分範囲がわかりません。 どのようにして考えるのでしょうか。よろしくお願いします。
- hukurousann
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>I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy >=exp(-ar^2)rdrdθ 積分記号抜けてませんか？ I^2=∬[D] exp(-ar^2)rdrdθ a>0の条件ついていませんか？ a≦0であればI^2は＋∞に発散してしまいます。 a>0であるとすれば D:{(r,θ)|0≦r<∞,0≦θ≦2π}とすれば良いでしょう。 逐次積分で表せば I^2=∫[0,2π]dθ∫[0,∞]r*exp(-ar^2)dr =2π∫[0,∞]r*exp(-ar^2)dr ar^2=uとおけば 2ardr=du r*exp(-ar^2)dr=(1/(2a))exp(-u)du より I^2=(π/a)∫[0,∞] exp(-u)du この定積分ならできますね！ I^2の定積分の値の正の平方根から最初の積分Iが求まります！
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- alice_44
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x = r cosθ, y = r sinθ と極座標変換したのなら、 (-∞<x<∞)∧(-∞<y<∞) に対応する r, θ の範囲は何さ？ 座標平面の絵を描いて考えてごらん。
- Tacosan
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どのような思考過程をへて 「I^2=∬exp｛-a(x^2+y^2)｝dxdy =exp(-ar^2)rdrdθ とするまでは分かった」 のですか? 特に, 上では x, y で積分しているはずなのになぜ下では r, θ の積分にかわっているのですか? 積分記号はたらんけど.
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