微分方程式（ラグランジュ型）についての質問です。

質問

この微分方程式をどのようにして解けばいいかわかりません。

y=-x(y')+(y')^2

よろしくおねがいします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

おや、失敬。
A No.3 は、間抜けな計算違いだった。

p = -p -xp' +2pp' を
dx/dp = 1/p' = -x/(2p) +1 と変形すれば、
一階線型微分方程式だから、容易に解けて
x = (2/3)p + C/√p となる。

この式は、√p についての三次方程式だから、
dy/dx = p = (x と C の式) という形に
解くことができる。あとは積分してオシマイ。

確かに煩雑ではあるが、ラグランジュ型に違いはなく、
クレロー型でないからといって恐れることはない。

お礼

回答ありがとうございます。

すみません、恐れてしまいました。

自分で突き進んでしまった計算が、
もう複雑で手に負えなくなって
挫折するばかりでした。
ありがとうございます。

回答No.7

alice_44

おだてられる程のことでもない。型どおりにやると、普通に解ける問題。
ラグランジュ型の場合、一度 x = (p の式) という形に積分できた後、
それを逆関数で p = (x の式) と書き換えるのが困難だったり、できても
複雑奇怪な式になったりする。今回は、三次方程式の解公式だから、
よく知られた式ではあるけれど、複雑で積分するのがウンザリなことは
否めない。だからと言って、Wolfram 一発では味気ないが…
と言いつつ、最後までやってみて、これは Wolfram でもしかたないか
というのが結論。A No.2 の「解かない」方針が正解かもしれない。

x = (2/3)p + C/√p を √p の三次方程式として整理すると、
2q^3 -3xq + D = 0, D = 3C, q = √p となる。これをカルダノ法で解くと
q = (1/4^(1/3))[ {D + √(D^2 - 2x^3)}^(1/3) + {D - √(D^2 - 2x^3)}^(1/3) ] となり、
dy/dx = p = q^2 = (1/4^(2/3)) f(x) + (2^(1/3))(x^2) + (1/4^(2/3)) g(x),
f(x) = {D + √(D^2 - 2x^3)}^(2/3),
g(x) = {D - √(D^2 - 2x^3)}^(2/3)　と整理できる。更に積分すると、
y = (1/4^(2/3))∫f(x)dx + (2^(1/3))(1/3)(x^3) + (1/4^(2/3))∫g(x)dx + E,
D, E が積分定数にあたる。

さて、∫f(x)dx, ∫g(x)dx はこのままでも「解けた」ことにはなるが、
できるものなら解析的に表示したい。どうするか？何も思いつかないので、
Mathematica に御願いしてみたら、出てきた答えを見て唖然とした。
超幾何関数を使えば、何とか表示することはできるらしい。苦笑

お礼

回答ありがとうございます。

alice_44さん、ありがとうございました。
Knotopologさんも本当に感謝しています。

おだてたつもりはありません。
不愉快な思いをされたら、申し訳ありません。
ですが、私がずっと悩み考えてきた問題に
解答の道筋をつけていただいたことは、
本当に感謝していますし、嬉しく思っています。

pを求めるのは難しいみたいですね。
超幾何関数はわからないので、これでストップしておきます。

ありがとうございました。
alice_44さん、Knotopologさん、
ありがとうございました。

回答No.6

Knotopolog

質問者さんへ

alice_44 さんが解いてくれましたので，解説します．

さすがは， alice_44 さんです． alice_44 さん，恐れ入りました．

さて，まず，

y＝－x(y')＋(y')^2

に関して，y'＝p と置くと，

y＝－xp＋p^2

となります．この式の両辺を，x で微分すると，

y'＝－(p＋xp')＋2pp'

です．変形すると，

p＝－(p＋xp')＋2pp'

p＝－p－xp'＋2pp'

2p＝－xp'＋2pp'

2p＝(－x＋2p)p'

ここで，p' ＝ dp/dx ですから，2p＝(－x＋2p)p'　は，

2p＝(－x＋2p)(dp/dx)

となります．この　2p＝(－x＋2p)(dp/dx)　を変形すると，

2p/(dp/dx)＝(－x＋2p)

1/(dp/dx)＝(－x＋2p)/2p

1/(dp/dx)＝－x/2p＋1

dx/dp＝－x/2p＋1

この式　dx/dp＝－x/2p＋1　は，x についての１階線形常微分方程式です．

この１階線形常微分方程式を　alice_44 さんが解いてくれた一般解が，C　を積分定数として，

x ＝ (2/3)p ＋ C/√p

です．この一般解は，私も計算して確認しましたが，正しいです．

次に，x ＝ (2/3)p ＋ C/√p を　p　について解くのですが，ここからは単なる初等的な代数計算となります．

x＝(2/3)p＋C/√p 　は，p に関しての三次方程式となり，その解を　p ＝ F(x,C)　とします．

y を求めるには，p ＝ F(x,C)　を積分して，

y ＝∫ F(x,C) dx

で得られます．y ＝∫ F(x,C) dx　が与えられたラグランジュ型微分方程式　y＝－x(y')＋(y')^2　の一般解になります．

お礼

回答ありがとうございます。

Knotopologさんもおっしゃっていますが、
alice_44 さん、すごいです。
本当に、これまで自分が解いてきたのはなんだったの、
と思ってしまいました。

Knotopologさん、丁寧に途中経過を書いていただいて、
ほんとうにありがとうございます。

実は、また新しい問題で、解けない問題が。。。
大変恐縮ですが、よろしければ、
お考えいただければ大変ありがたいです。

ありがとうございました。

回答No.4

Knotopolog

p = -p -xp' +2pp'　⇒　⇒　p’/p = 2/(2-x)　・・・？？？

p＝－p－xp'＋2pp'　 ⇒　⇒ 　 p’/p ＝ 2/(2p－x)

お礼

回答ありがとうございます。
私もこの後、試行錯誤して、
それでも解けませんでしたが、
後にも書きますように、
解くことが出来ました。
ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

普通に、y = -xp +p^2 (p=y') を d/dx して
p = -p -xp' +2pp' から
p’/p = 2/(2-x) と変数分離すればえんちゃうの？
型どおりでしょ。「ラグランジュ型微分方程式」で
検索すれば、解説がいくつでも見つかる。

それとも、x(y') てのは、掛算じゃなく
x = f(y) に対して f(dy/dx) とかだったりする？

お礼

回答ありがとうございます。

> それとも、x(y') てのは、掛算じゃなく
x = f(y) に対して f(dy/dx) とかだったりする？

あ、掛け算で合ってます。
紛らわしい書き方をしてしまって、
申し訳ありません。

回答No.2

Knotopolog

普通，ラグランジュ型の常微分方程式は， y＝xφ(p)＋ψ(p)， (p≡dy/dx)　と表示され，x で両辺を微分すると，x，p に関する１階線形常微分方程式になり，この解ともとの方程式とから　p を消去すれば一般解を得ることが出来ます．

しかし，質問の微分方程式は，

y＝－xp＋p^2，　（p＝y'）であり，xp　の項が　－（マイナス）なので，ラグランジュ型の常微分方程式には，該当しません．

質問の微分方程式　y＝－xp＋p^2　でも求積法で解けるようですが，複雑で，ここには書き込めません．

手計算が大変なので，数式計算ソフト：WolframAlpha （下記）を使って計算させてみました．

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

上記の　WolframAlpha　を起動して，

y=-x(y')+(y')^2

を入力し，画面の　〓　をクリックすると，微分方程式　y=-x(y')+(y')^2　の一般解が表示されます．式の入力は半角です．全角ではエラーになります．

やってみて下さい．

お礼

回答ありがとうございます。
そうなんです、実は私もやってみて、
うまく行かなかったので、
質問させて頂きました。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「ラグランジュ型」とまでわかっているなら, その定法に従えばいいのでは?

お礼

回答ありがとうございます。