ミクロ経済学の生産者行動の費用最小化問題の解法について

質問

• ミクロの生産者行動の費用最小化問題の計算について質問があります。
• コブダグラス生産関数を持つ生産者が長期の場合の利潤最大化問題について解法を教えてください。
• 数式の計算で問題が発生し、L,K,Yを正しく求める方法について教えてください。

回答No.6

statecollege

あなたの利潤最大化問題を非負制約に注意して直接解いてみましょう。最大化問題は

　　　max (y≧０、L≧０、K≧０）　π＝py-wL-rK
s.t.
y = L^αK^(1-α）

である。制約式を目的関数に代入して

　　　π＝pL^αK＾(１－α）－ｗL - rK

利潤最大化のK-T条件は

∂π/∂L≦０　および　L∂π/∂L=0
∂π/∂K≦０　および　K∂π/∂K=0
からなる。すなわち、
(1)　　　　pαL^(α-1)K^(1-α）≦w.
(2)　　　　L[pαL^αK^(1-α)-w] = 0.
(3) 　　 p(1-α）L^αK^(-α）≦ ｒ.
(4)　　　　K[p(1-α）LαK^(-α) - r] = 0.
となる。いま、利潤最大化LとKは正の値をとるとしてみよう。すると、（２）と（３）より、(1)と(2)は等号で成立するから、
(1)と(3)より
(5)　　　　　K = (w/r)(1-α)/α）L
を得る。（ここまではあなたも求めた！）これを上の生産関数に代入すると
(6)　　　　　　y　=　(w/r)^(1-α)・（（1-α）/α）^(1-α）・L
このときの利潤πは　
(7)　　　　π= ｐｙ－ｗL- rL
　　　　　 = p(w/r)^(1-α)・((1-α)/α)^(1-α）L－ｗL-r(w/r)(1-α)/α）・L
= p[(w/r)^(1-α)・((1-α)/α)^(1-α）- w/p-(w/p)(1-α)・α]・L
ところが、(1))は等号で成立する(上の仮定を思い出すこと）から、これに(5)を代入すると
(8)　　　　　w/p＝α(w/r)^(1-α)・((1-α)/α）^(1-α）
これを(7)に代入すると右辺は0となる(確かめよ！）つまり、LとKが正の値をとるような状況のもとでは、生産量は(6)で利潤はゼロとなる。生産量を示す(7)式の右辺にはLがあるが、Lは任意だから、最適生産量（６）は非決定、すなわち、一意に定まらないことをあらわしている。労働投入量Lも非決定であり、(5)によって与えられる資本投入量も非決定である。ただし、LとKは独立に決定はできない、KとLの間には必ず(5)の関係がある。なお、この結果を得るためには、外生的に決定される(モデルの外で決定される）ｐとｗとｒの間には（８）の関係、(8)を書き換えると、
(9)　　　　　p = w/[α(w/r)^(1-α)・((1-α)/α）^(1-α）≡γ
があるときのみ成立する。この右辺の値は以前にもとめた、当該財を（ｗとｒが市場で与えられたとき得られる)コブダグラス生産関数のもとで平均費用=限界費用だ。市場価格がこれ以外のときは最適生産量はゼロ、したがってLとKに対する企業の需要もゼロだ（あるいは最適生産量がそんざいしない）。この点はすでにANo2でみたが、この結果がここでの議論のもとでどうしたら得られるか考えてみてください。（ヒント書いておくと、こここでの解答のなかでは、K>0 およびL>0を仮定したが、このとき(8)、あるいは同じことだが(9)が成り立つことを導いた、ｐとｗとｒがこれ以外の値をとるときは(1)と(3)は等号では成立しないのである。）

お礼

ノートに書いてやってみました。難しかったです、ありがとうございました。もし、費用wL+rKを一定Ｃ'などと仮定すると、どうなるのでしょうか？