摩擦力の加わる運動方程式について

質問

ばね定数k(N/m)のばね、減衰係数c(Ns/m)のダンパーが質量m(kg)に接続されている一質点系に外乱(m/s^2)が加わる場合の運動方程式でシミュレーション解析を行いたい
この運動方程式を立てるとしたら

mx''+cx'+kx=F

になりますが
これに動摩擦力fd(N)が加わる場合を考えると

mx''+cx'+kx+sign(x')*fd=F

（ただしsignは正負に応じた符号で返す）

となると思うのですが、いかがでしょうか？

あと、この質量mが摩擦力によって停止する条件式も入れなくてはいけないはずですが、
どのような条件を加えればいいのでしょうか？

自分が考えるには

fd＞|F-mx''-cx'-kx|
のときに、
x''=F
x'=0
x=x

x'=0
のときに限りfdの値を静摩擦係数にすることが必要だと思います。

この運動方程式と条件でルンゲクッタ法による解析を行ったのですが、
どうにも解析結果が芳しくありません。
この運動方程式に間違いや、追加した方が良い条件が御座いましたら教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.6

FT56F001 · ベストアンサー

(c)のモデルだとして，運動方程式から作り直します。

台の速度V=∫F/mdt，台の変位Y=∫Vdtとおいて，
mx"+cx'+kx=c*V+k*Y
が(摩擦を含まない)運動方程式です。
(Fから直達成分はなく，一階積分した台の速度V，二階積分した台の変位Yからのみ力が働きます。)

台との摩擦を考えましょう。

摩擦により固着している場合
|mx"+cx'+kx-c*V-k*Y|<fdのとき，x"=Y"=F/m，x'=V，すなわちx=Y+const

摩擦による固着がない場合
|mx"+cx'+kx-c*V-k*Y|>fdのとき，mx"+cx'+kx=c*V+k*Y-sgn(x')*fd

|mx"+cx'+kx-c*V-k*Y|>fd_stayのとき，静止摩擦に勝って，
質点が台の上から動き出します。

お礼

非常に見やすく、かつ分かりやすい運動方程式及び条件式を立てていただきありがとうございます。
この方程式を用いて解析を行っていきたいと思います。

回答No.5

el156

No.3です。
バネの力の分はNo.4の方のご指摘通りで、私の勘違いです。止まっている時x''とx'はゼロですがxがゼロでないことを忘れていました。
したがいまして、「x'=0でかつ|F-kx|<静止摩擦力のときに限りfd=F-kx」だと思います。
x'=0のときのsign(x')の定義が不明確だと思いますが、|F-kx|が静止摩擦力に達した瞬間のfdの向きは大丈夫でしょうか？
N0.4の方のわかり易い図解によれば、私自身は勝手に(b)をイメージしておりました。モデルをはっきりして頂く方が良いかと思います。

お礼

長いこと回答にお付き合いいただき誠にありがとうございます。
回答者様がおっしゃるように、摩擦力に制振作用は無いということが実験によっても明らかになり、
更に得られた運動方程式によるシミュレーション解析結果も同様の解になりました。

回答No.4

FT56F001

何かモデルが混乱していますね。

(1) Fを外乱として，力[N]にしますか，加速度[m/s^2]にしますか?

(2) 摩擦力，外乱力，バネ，ダンパは質量mの物体と，どこの間に働くのですか?
　(a) 質量mの物体に外乱Fが働き，摩擦力は静止した床との間に働く。
　(b) 台の外乱による加速度がFで，摩擦力は(外乱で揺れる)台と物体の間に働く。
　　　バネは静止した柱に固定。
　(c) 台の外乱による加速度がFで，摩擦力は(外乱で揺れる)台と物体の間に働く。
　　　バネは外乱で揺れる台に固定。

　#1は(a)のモデルのイメージです。

#2,#3さんのfd=Fの式，摩擦力で固着したとしても，バネにより働く力は考えなくてよいのかしら?

お礼

皆様からのご指摘を受けて、色々と単位がおかしいことに気付きました。
困惑させて申し訳ありません。

Fを加速度にした場合、m(kg)・F（m/s^2)＝m・F(N)にしなくては運動方程式として全然成り立ちませんでした。
既に外乱の加速度波形を計測していたので勘違いしておりました。

[1]
F（エフ）は一般に力を表す記号であり、かつ運動方程式を変えなくて済むように、私が散々言っていた外乱の加速度F(m/s^2)ではなく、外力F（N)で統一致します。
[2]
モデルによって運動方程式が変わってくるということにも気づかないで、誤解しか生まないような文章で撹乱して申し訳ありませんでした。
私個人といたしましては、回答者様が挙げてくれたモデル図の中の、(c) の状態を想定しておりました。

回答No.3

el156

No.2にのお礼にお答えします。
「mx''+cx'+kx+sign(x')*fd=F」の、Fとfdは力で、単位はニュートンでよろしいでしょうか？そうだとすれば、おもりが止まっていて外力の絶対値が静止摩擦力の範囲内にあるとき、おもりは引っ張っても動かない状態ですから、fdとFは作用反作用の関係にあると思います。従いましてfd=Fだと思います。

「摩擦力は停止する際の振動を制動する効果があり、加速から等速に至る過程で発生する振動を制動する効果は無い」について、後者はおもりを定速で引っ張るような場合の定速中の振動(脈動)を想定して申し上げました。私はそういうことを説明している文献を見たことがありませんが、論拠は簡単です。
加速から等速に至る過程では振動の振幅が非常に大きい場合を除き、sign(x')が変化しません。そうするとfdは定数ですから、(F-fd)で引っ張るのと同じです。摩擦力は駆動力Fを一律に弱めるだけで、振動を減衰させることはありません。この条件での振動の減衰は専らcx'の項に依存することになります。停止時に振動がある場合には振動の向きに従ってsign(x')の符号が変わりますから振動の速度がどちらに向いた場合も摩擦力は減速方向に働きます。これによって振幅は小さくなって行く筈です。
もしも加速から等速に至る過程で振動の振幅が非常に大きく、sign(x')の符号が反転するような場合なら、静止摩擦力が登場しますので、振動の減衰どころではなく、とても酷いことになると思います。

回答No.2

el156

前半はそれで良いと思います。
動いていたものが止まる時には静止摩擦力は関係しませんから、静止に至る間の部分は条件式は必要ないと思います。
止まっている時には静止摩擦力が働きますが、その条件式は、
「X'=0でかつ|F|<静止摩擦力のときに限りfd=F」となると思います。
摩擦力は停止する際の振動を制動する効果があり、加速から等速に至る過程で発生する振動を制動する効果は無い、という結果になるはずですが、面白いですよね。簡単でどこにでもありそうな現象なのに、あまり教科書等で見たことがありません。

お礼

詳しい解説有難うございます。
当方も参考書であまり扱われていない事案に苦慮しておりました。

>摩擦力は停止する際の振動を制動する効果があり、加速から等速に至る過程で発生する振動を制動する効果は無い

結果がそのようになる、という道筋をつけて頂き恐悦ですが、
その論拠となる文献など御座いましたら教えて頂けないでしょうか？

あと、質問内容に不備がございまして、先に謝罪させて頂きます。
この一質点系に加わる外乱はF(m/s^2)と表記させていただいております。

>「X'=0でかつ|F|<静止摩擦力のときに限りfd=F」となると思います。

とありますが、

X'=0でかつ|F|<静止摩擦力のときに限りx''=Fになる
または、
X'=0でかつ|F|<静止摩擦力のときに限りfd=静止摩擦力になる
のではないでしょうか？

色々、自分の不勉強を棚にあげて質問させていただくのは身勝手で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

回答No.1

FT56F001

>fd＞|F-mx''-cx'-kx|
>のときに、
>x''=F
>x'=0
>x=x

摩擦力が勝っている，fd＞|F-mx''-cx'-kx|のときは，固着するので
x''=0,x'=0　ですね。

x'=0かつ静止摩擦fd_stay<|F-kx|となったら，摩擦力が負けて動き出す，
x''={F-cx'-kx-sign(x')*fd}/m
とモデル化すればよいでしょう。

なお，経験的には，このように微分方程式が不連続に変化する場合，
ルンゲクッタ法のような高次の解法は誤差が出やすく，
オイラー法のような低次の解法で時間刻みを十分細かくする方がよいようです。

お礼

詳しい解説有難うございます。
Fが外乱による加速度だということを書き忘れていたことを先に謝罪させて頂きます。

>摩擦力が勝っている，fd＞|F-mx''-cx'-kx|のときは，固着するので
>x''=0,x'=0　ですね。

となっていますが、確かに固着しているので、質量ｍの絶対加速度は0になると思いますが、
振動を伝えてくる土台の加速度がそのまま質量mに作用するので、相対加速度はx''=Fになるのではないでしょうか？

あと、既に外乱の加速度はサンプリングタイム10msで計測済みなので、解析の時間刻みを小さくすることは難しいのですが、それでもオイラー法の方が精度が良くなるのでしょうか？

無知な質問かもしれませんが、よろしくお願い致します。