マクローリン

質問

さっき質問した者ですが、
(1+xsiny)^(-1)のマクローリン展開は、何かいい方法がありますか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

sin のマクローリン級数の冪を、多項定理で展開して
同類項を整理する手間を考えれば、
素直に偏微分して各係数を求めるほうが「上手い」。
幸い、今回の展開は、偏導関数が
x=y=0 を代入して 0 になる部分式を豊富に持つ
ために、比較的容易に計算できる。
(いつもこう上手くゆくとは限らないが…)

お礼

ありがとうございます

回答No.2

info22_

前問のようにxの関数とyの関数の積で表されませんので、２変数関数のマクローリンの定理の公式を使って一般的な方法、つまり（0,0）の周りの高階偏微分係数を計算してマクローリン展開の公式に代入して行きましょう。

参考URLにマクローリンの展開公式（テーラー展開の(x0, y0) = (0, 0) の場合）や展開例題が載っていますので、ただ機械的にカリカリ計算するだけです。

偏微分係数の分子にx,sin(y)の項が出ますので(0,0)における変微分係数はゼロになってしまいます。この意味では上手い方法がない訳ではないですが、一度は正攻法で展開することも経験しておいた方がいいと思います。ちゃんと正攻法を消化した後に、うまい方法はやった方がいいと思います。

[比較的上手い方法]
h(z)=(1+z)^(-1)=1-z+z^2-z^3+z^4-z^5+ ...
f(x,y)=h(xsin(y))
=1-xsin(y)+x^2*(sin(y))^2-x^3*(sin(y)^3)+ ...
と展開できるので (sin(x))^n(n=1,2,4)の一変数のマクローリン展開係数だけ計算すれば良くくなります。

f(x,y)=1-xy+x^2y^2+(1/6)xy^3-x^3y^3-(1/3)x^2y^4-(1/120)xy^5+x^4y^4+(1/2)x^3y^5
+(2/45)x^2y^6+(1/5040)xy^7 - ...

参考URL：

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-1/calc2%28Th%29/lecture5.pdf

お礼

ありがとうございます

回答No.1

WiredLogic

前の質問の#3さんの回答に出てきた、
1/(1+t) = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - …
に、t = xsinyを代入した後、

siny = y - y^3/3! + y^5/5! - …
にする、というのでは？

お礼

ありがとうございます