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質問者が選んだベストアンサー
cos の付いた問題のほうが、むしろ単純です。 定型的で不完全な処理しか、やりようがないから、 黙々と作業するだけだからです。 一般の関数について、マクローリン展開の 各係数を解析的に表示できることは、稀です。 もとの質問は、その稀な例だから、 関数の特徴を捉えて「上手く」計算しよう… というのが、A No.2 の趣旨でした。 それに対して、提示した小技の適応でない 別の関数へ問題を移されたのでは、 正直ガッカリです。 A No.5, 7 にも見えるように、一般のというか 今回 cos の付いたほうの関数については、 最初の数項を書いて見せることができるだけで、 マクローリン展開の一般項を書き下すことは できません。
その他の回答 (7)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
#1,#3です。 A#3の補足について >cos（x/(1+y^2)) (4次までのマクローリン展開） #6さんが言われることはもっともです。 問題が変わり、しかも当初の問題より難しくなるので 新規に質問を立てるのが投稿マナーかと思います。 問題が変わる場合は、次回から一旦問題を閉めて、新たな投稿として下さい。 最も#5さんがもう手をつけて見えるので 回答しておきます。 cos(t)=1-t^2/2+t^4/24+... cos(x/(1+y^2))=1-(1/2)(x^2)/(1+y^2))^2 +(1/24)(x^4)/(1+y^2))^4 +... 1/(1+t)^2=1-2t+3t^2 - ... 1/(1+y^2)^2=1-2y^2+3y^4 -... 1/(1+t)^4=1-4t+10t^2 -... 1/(1+y^2)^4=1-4y^2+10y^4 -... より cos(x/(1+y^2)) =1-(1/2)(x^2)(1-2y^2+3y^4 -...) +(1/24)(x^4)(1-4y^2+10y^4 -...) +... 4次までの項を拾えば良い。 cos(x/(1+y^2))=1-(1/2)(x^2)+(x^2)(y^2)+(1/24)x^4 +...
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
何で、途中で問題が変わるの？
- WiredLogic
- ベストアンサー率61% (409/661)
#4さんへの補足にある関数はタイプミスで、 本当は、#3さんへの補足にある関数、 ということですよね？ costのマクローリン展開 cost = 1 - t^2/2! + t^4/4! + … は解りますよね？ そのtに、x/(1+y^)のマクローリン展開の結果を代入して計算、 xyの４次以下(２文字のときは、x^m * y^n で、m+n≦4) の項だけを残せば、できあがり(なので、代入・展開は、 その範囲でやればよい)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
等比級数とは、等比数列の総和のことです。 1 + r + rr + rrr + … = 1/(1-r) は、高校で習ったでしょう？ これに r = -yy を代入してごらんなさい。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
#1です。 f(x,y)=x/(1+y^2),f(0,0)=0 f_x=1/(1+y^2),f_x(0,0)=1 f_xx=f_xxx=f_xxxx=…=0(xによる２階以上の偏微分=0) なので f_x(0,0)=1だけが残る。つまりxの１次の項だけが残る。 従って（当たり前のことですが）yによるマクローリン展開にxを掛ければf(x,y)のマクローリン展開になるということです。この事はA#2で#2さんも指摘されています。 1/(1+y^2)のマクローリン展開については 1/(1+t)=1-t+t^2-t^3 + … + ((-1)^n)t^n + … なので 1/(1+y^2)=1-y^2+y^4-y^6+ … +((-1)^n)y^(2n) + … 従ってf(x,y)のマクローリン展開はxを掛けて f(x,y)=x-xy^2+xy^4-xy^6+ … +((-1)^n)xy^(2n) + …
お礼
ありがとうございます
補足
cos（x/(1+y^2）)だとしたらどうすればいいですか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その関数は、x の関数と y の関数の積で f(x)g(y) と書けますから、 f, g をそれぞれ級数展開して (級数)×(級数) の括弧を展開すれば 簡単です。 今回は特に、f(x) = x なので 展開の手間も無いし、 g(y) のマクローリン展開も 公比 -yy の等比級数を考えれば すぐわかります。
補足
等比級数ってなんですか？
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
参考URLで２変数関数のテイラー展開の公式で f(x,y)=x/(1+y^2) a=b=0,h=x,k=yとおけばマクローリン展開になります。 f(x,y)= f(0,0)+(1/1!){xf_x(0,0)＋yf_y(0,0)} +(1/2!){x^2f_xx(0,0)+2xyf_xy(0,0)+y^2f_yy(0,0)} + ・・・・・ +(1/(r-1)!){x∂/∂x+y∂/∂y}^(r-1) f(0,0) +(1/r!){x∂/∂x+y∂/∂y}^r f(θx,θy) を計算するだけでしょう。 やってみて分からなければ、途中計算を書いて訊いてください。
補足
ありがとうございます。理解しました。 今の問題で、cos(1+/1+y^2)にした場合、どのように４次までのマクローリンをすればいいですか？