- みんなの回答 （20）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。2の次が3です。 算数に入る前に、数学基礎論に少し寄り道します。数学基礎論は、数学が数学として、どうして正しいか、どうすればもっと正しくなるか等々を研究する、数学自体を扱う数学の分野です。 まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。 足し算の定義としては、 １．「0+1＝1」と定義し、 さらに、二つの自然数m,nを自由に選んで、n'をnの次の自然数とすれば、 ２．「m＋n'＝(m＋n)' ：ただし(m＋n)'はm＋nの次の数」 としました。これで、「自然数の次の数」＝「自然数1ずつ増やす」という自然数の定義だけで、あらゆる自然数の足し算が定義できています。 この定義は算数の足し算では、「数えたら、合っている」ということで、「当たり前」として説明なしに、「足し算はそういうもの」としています。 だから、「1＋1＝2」は「当たり前」となります。 ただ、上で説明した足し算の定義にたどり着くまでに、たとえば「数学原論」という分厚い数学基礎論の本では、300ページ以上を使って数学をあれこれ定義して、ようやく「だから、数学では1＋1＝2としてよいのである。」と述べています。 ちなみに数学基礎論を専攻している人の中には「数学原論は、まだまだ定義が甘い」という人がいるそうです。恐るべき厳しさです。 つまり、「どうして、1＋1＝2なのか？」ではなく、「1＋1＝2で大丈夫なように数学を作っています！」ということです。 数学をちょっと小さくしても、数学の確かな一分野である算数も、1＋1＝2で大丈夫なようになっているということです。
その他の回答 (19)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
No.16 です。補足を拝見しました。 現在の貴方の状態は、ベアノの公理を 見たことはあるが、理解していない ということですね。覚え違いもあります。 やはり、「素朴な疑問」ではありませんでしたね。 A No.18 などを参考に、必ず「成書を読んで」 ベアノによる自然数の定義を確認し、 補足の内容を訂正してください。 その上で、加法の定義 [1] ∀x, x+0=x [2] ∀x,y, x+(yの次)=(xの次)+y を導入すれば、 (0の次)+(0の次)=(0の次)の次 が示せます。これが、示すべき 1+1=2 です。 [2] に x=(0の次), y=0 を代入するだけですね。
お礼
加法の定義まで、ありがとうございます 正しい本を手に取ってみますね
お礼、ありがとうございます。 >ただ、≡はなんでしょうか？ 定義の意味で使っています。普通の＝だと、単に等しいだけなので。それで教わったことがあったので、特に何も考えず使いましたが、非標準かもしれません。 あらかじめ、意味を断らずに記号を使ってしまい、申し訳ありません。 とりあえず、ブルーバックスの「現代数学小事典」あたりを読んでもいいかと思います。それをもとにググれば、たいてい大丈夫じゃないかと思います。 途中で止めましたが、ブルーバックスには「ゲーデル・不完全性定理」あたりも良いと聞きましたが、今では「数学ガール/ゲーデルの不完全性定理」のほうが良いらしいです。
お礼
定義ですか わかりました 本屋で探してみます ありがとうございました！
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
No.16への補足をみたんですが・・・ 本当にその定義を理解してますか？ というか・・その定義，突っ込みどころ満載で あなたが期待してるであろうと思われる 基礎論的なお話にとっては 逆に分かりにくいんですが。。。 ＃もちろん大筋では正解なのですが・・・ ＃不用意な言及が多すぎるんですよ 例えば 「0の次の数を後継と呼ぶ」 これ，定義なんかになりえないですよ． そもそも「次の数」って何ですか？ もっというと「数」って何ですか？という突込みができるわけです だって今は「自然数の定義」つまり「数とは何か？」という お話に突入してるのに いきなり「数」が出てきてる・・・ 「ある後継xとある後継yを足すと、xとyを足した後継になる」 足すとは何でしょう？ 足すという操作がすでに定義されているのであれば 「1足す1」という操作の結果はその「足す」の定義に従えば 証明できるはずですよね・・・ ということで，ペアノの公理系を正確に吟味して 記号「1」「2」の定義をしっかりして その上で「加法」を定めるとうまくいくと思います． ============= ペアノ公理系 集合Xが以下の条件を満たすとする (1) 0と呼ばれる要素がXに存在する (2) Xの任意の要素xに対して，next(x)と呼ばれるXの要素が存在する (3) 任意のXの要素xに対して，next(x)は0ではない (4) Xの要素xとyに対して，next(x)=next(y)ならばx=yである (5) Xの要素xに対する命題P(x)を考える． ・P(0)が真である ・P(x)が真であるならばP(next(x))も真である という条件を満たすとき，Xの任意の要素xに対してP(x)は真である ＃(5)についてはいろいろな表現があるけど，こんな感じでいいよね ＃部分集合をつかって書くほうがいいのかな Xに対して「加法」A(・,・)を以下のように定める ・Xの任意の要素xに対してA(x,0)=x ・Xの任意の要素x，yに対して A(x. next(y)) = next(A(x,y)) こんな感じかなー こういう集合Xが存在することは，自分で調べてください． さすがにZFCを説明する元気はないです． さてさて・・・次に記号の定義 Xにおいて 1=next(0)，2=next(1)，3=next(2)，・・・という風に書くことにしましょう． 証明すべきは A(1,1)=2 です． A(1,1) = A(1,next(0)) = next(A(1,0)) = next(1) = 2 証明終わり とまあ，こんな感じで，実は「数」という言葉なんかなしで 形式的にいっちゃえるわけですが・・・ 実はでっかい落とし穴があります． 加法A(・,・)って，本当にきちんと定義できてるの？って話． 実は,この加法の定義が本当に適切なのか？ってのが 本質だったりするけど，この定義の妥当性。。。どうやって示すのか 忘れました（木亥火暴）． 帰納法をつかったかなーり厄介なもののはずなので これまた基礎論の本を探してください ＃ゲーデルの不完全性定理の関係の本（ゲーデル数の説明がきちんとでてるもの）にあるかも たしか写像g:X->Xと任意のxに対して f(next(x))=next(g(x))，f(0)=x を満たす写像f:X->Xの一意存在がどうたらこうたらだった気がする． この命題をいろいろいじくって 交換法則・結合法則とかまで出せるはずです
お礼
感覚的に理解できても文字に起こすのは難しいんです…自分の知識で、つまりコピー&ペーストできないですし 詳しくありがとうございます 定義について改めて再認識させて、質問の回答もくださるとは、もう言うことなしです
お礼、ありがとうございます。 #13,14です。 少しだけ、自然数の定義から、補足しておきます。 suc(n)は、nの次、つまり後継、後者です。 0 ≡ φ 1 ≡ suc(0) = {0} = {φ} 2 ≡ suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {φ, {φ}} 3 ≡ suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {φ, {φ}, {φ, {φ}} } こんな感じです。自然数は0を空集合として最初の数として定義され、自然数nはn≠0は、そのひとつ前までの自然数全ての集合という、帰納的定義となります。 足し算は、足し算の定義より、 1＋1＝suc(1＋0)＝suc(1)＝2 または、集合の和としても、足し算の定義に注意すると、 1＋1＝suc(1＋0)＝1＋0＋1＝{1∨0∨1}＝{{φ}∨φ∨{φ}}＝{φ∨{φ}}＝{φ, {φ}}）＝2 となり、矛盾なく一致します。 ---------------- ……ということらしいです。 数学基礎論って、深入りして正気を保つには、相当の覚悟が必要らしいので、私は「どうも数学は大丈夫みたいだ」というところで納得して、こわごわ引き返しましたです。 実際のところ、自然数それぞれが集合だなどと意識すると、電卓のキーを打つのも手が震えますです。 これ以上、深入りする勇気はありませんです。orz
お礼
丁寧な解説、ありがとうございます ただ、≡はなんでしょうか？三角形の合同の記号であるのは分かるのですが、数字に使ったらどんな意味になるのでしょうか 私は、関数のグラフや三角形とかが嫌いなので、(関数も集合における写像なんですが)数学基礎論や集合論や数理論理学といった言葉遊びの方がいいですけどね…
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「過去の回答によると」ではなく、貴方自身の理解度を聞かせてください。 また、その答えでは「１」「次の数」などの用語を使っていますが、 それらは何ですか？ 御自分の言葉で説明してみてください。 その辺が全く解からないのであれば、A No.1 が貴方向けだと思います。
お礼
1は0の後継です 0の後継を1と定義してるからですね 次の数は、自然数の集合をN、Nに属する元を0、0の後継、0の後継の後継、0の後継の後継の後継…と定めたとき、任意の元の後継ですね まあ以下に記した自然数の後継に関する定義を言い直しただけですが なお、自然数の定義は 0が入る 0の次の数を後継と呼ぶ 0はどんな自然数の後継でもない ある後継xとある後継yを足すと、xとyを足した後継になる ある自然数xとある自然数yが同じでないならば、ある後継xとある後継yも同じでない ある命題が0について成り立ち、またその命題がある自然数xについて成り立ち、またxの後継についても成り立つならば、Nの元全てにおいて成り立つ
補足
間違えました… ＞ある後継xとある後継yを足すと、xとyを足した後継になる そもそも足し算については定義してないし、後継xと後継yを足したらx+yの後継の後継ですね
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答への補足から見るに、何だか 素朴な質問という訳でも無さそうですが… それを質問するのであれば、まず 「2 とは何か」について、 貴方の知識と考えを書いてからでしょう。 その内容次第で、語るべきことは異なる と思います。
お礼
2は自然数における1の次の数…みたいです 過去の回答によると
#13です。 うわーい、単純ミスです。すみません。訂正します。 誤> まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。 1の次が3でどうする！＜自分orz 正> まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,2,3,……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。
お礼
間違いでしたか わかりました
１＋１＝ １がリンゴだとして リンゴが１個 と もう一個なにかがあるから １個で 合わせて 二個です(o>ω<o)
お礼
水は1＋1＝1です！
- hugen
- ベストアンサー率23% (56/237)
それは、２＝１＋1 だからです。
お礼
それは明治ぐらいの日本の書き方ということですか？
- BODYCHANGE
- ベストアンサー率21% (229/1053)
正直、どう回答して良いか分からないのですが、当たり前の事を疑問に思ったりする事で大発見があったりするかも知れません。 質問者さんは偉人の可能性、あるかもです。
お礼
残念ながら頭は悪いです
- 1
- 2
お礼
そんな本が…願ったり叶ったりの本です！