ソローの資本蓄積式における人口増加率について

質問

ソローの労働者一人当たりの資本蓄積式では、

「単位時間当たりのkの変化量（ドットk）」=sy-(d+n)k

（sは投資率、yは一人当たり産出、dは償却率、nは人口増加率、kは一人当たり資本）
となりますよね。

さてここで、s又はyがゼロ（新規の投資なし）、dがゼロ（減価償却なし）とします。

さらに、人口が倍になったと仮定します。

すると、n=1（増加率100％）なので、-kとなりますよね。

したがって、新規投資と減価償却がなく、かつ、人口が倍になった場合、一人当たり資本がゼロになってしまうように思えるのですが、どこがおかしいのでしょうか？

普通に考えると、人口が倍になると単純に一人当たり資本は半分になるような気がするのですが。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

私のAno1の回答はただしくありませんでした。１００パーセント減少するというのは、元の半分になることではなく、ゼロになることです。
ソローの方程式は微分方程式ですから、変化が微小量変化する場合にしか適用できませんから、人口が倍になるような大きな変化に対しては当てはまらない、ということです。現実の問題に適用する場合には、注意が必要です。もっとわかりやすい例で説明しましよう。たとえば、名目GDPをG、価格水準（GDPデフレイター）をP、実質GDPをYであらわすと、G=P・Yという関係がありますから、両辺を時間について微分すると

　　　　Gドット/G　=　Pドット/P　+　Yドット/Y

が得られますが、この式はあくまでも微小量の変化について成り立つということに注意する必要があります。たとえば、価格が２０パーセント、名目GDPが５０パーセント上昇したとき、実質GDPはいくら上昇したかを調べるとき、上の式を使うと、実質GDPは、５０パーセントマイナス２０パーセントで、３０パーセントの増加と計算されますが、このように計算すると誤差がでます。正確には、(1+0.5)/(1+0.2)=1.25で、25パーセントの増加というのが正しい結果です。これが、名目GDPと価格の変化が0.5、0.2パーセントのような小さな(微小量）変化の場合には、実質GDPは（1+0.005)/(1+0.002)=1.002994、つまり0.2994パーセントの増加というのが正確な計算結果ですが、上の式を使って0.5-0.2=0.3と計算してもほとんど同じ結果が得られるのです。

お礼

質問して10日ほど回答がなかったので、質問の仕方が悪かったのかと思い、あきらめていました。大変失礼しました。
お教えいただいたこと、おおむね理解できました。
微分することと割り算することがどうもごっちゃになります・・・。
精進いたします。
今回はありがとうございました。

回答No.4

statecollege

以下の質問↓もあなたの質問と本質的に同種の質問

http://okwave.jp/qa/q7313803.html

ところで、私の回答を理解できたのだろうか？腑に落ちないところがあるのだろうか？さらに質問があるなら、「補足質問」でも、「お礼」のところでもよいから、再質問したらどうか？

回答No.3

statecollege

ANo.2に関して、同様の問題について回答したことがありますので

　　http://okwave.jp/qa/q6866251.html

の私の回答も参照してください。

回答No.1

statecollege

100パーセント増加するとは、倍になること。１００パーセント減少するとは、半分になること。あなたが主張するように一人当たり資本は半分になっているではないですか！つまり、あなたの式の両辺をｋで割ると

　　　（ドットk）/ｋ　=　-1

となりますが、これは一人当たり資本kの成長率が-1、つまり一人当たり資本が100パーセント減少する、別の言葉でいうと一人当たり資本が半分になることを意味します。