数学

質問

-2≦√(1+k)≦1⇔-1≦k≦0
-1≦√(1+k)≦2⇔-1≦k≦3

上と下をそれぞれ計算すると⇔の先の結果になるはずなのですが
上 -5≦k≦1 下 0≦k≦3になります(>_<)

計算方法を教えて下さい。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問について

>ただどうして二乗してはいけないのですか？
>ルートを外す際に二乗したら他も二乗しないとダメなんじゃないですか？

不等式が２乗して成り立つのは次の2つの場合に限ります。

(1) 0≦A≦B ⇒ A^2≦B^2
(2) A≦B≦0 ⇒ A^2≧B^2

左辺と右辺が異符号の場合
２乗すると大小関係が一意に決まらない。
２乗して解いた不等式の解が常に元の不等式の解であるとは言えない（同値関係が必ずしも成り立たない）。
例）
　-3<2
この場合は２乗すると不等号の向きが変わる。　9>4

-2<3
この場合は２乗すると不等号の向きは同じ。　4<9

変数が入ると、２乗すると不等号の向きが変数に依存して変わる。
　x<1-y　⇒　x^2<(1-y)^2
　x<1-y　⇒　x^2>(1-y)^2
のどちらも正しくない。

特に根号を含む不等式では
　a<√b (a<0)
の場合は２乗すると不等号の向きが定まらない。
従って２乗した場合の不等式の不等号の向きが不定になるので２乗してはいけない。
　-5<√2 ⇒ 25>2
-3<√15 ⇒　9<25　
-3<√k ⇒　9<k　(k>9の時)、⇒ 9>k (0<k<9の時
２乗しないで（√の中）≧0が不等式の解。

このタイプの不等式は常に成立なので不等式を解く必要はない。

以上、注意して下さい。

お礼

みなさん、ありがとうございました！！
丁寧に…感謝です！

回答No.4

ferien

-2≦√(1+k)≦1⇔-1≦k≦0
-1≦√(1+k)≦2⇔-1≦k≦3

√(1+k)を２乗して不等号が成り立つことを示すには、
左辺≧０右辺≧０でなければならないので、
上下どちらとも左側の不等式は、証明できません。

ｋの最小の値については、根号の中≧０から、１＋ｋ≧０より、ｋ≧－１
√(1+k)≦1は、両辺とも≧０なので２乗して、
１＋ｋ≦１より、ｋ≦０
≦√(1+k)≦2　も同じく両辺を２乗して
１＋ｋ≦４より、ｋ≦３

以上より、それぞれ上の式の右側の結果になります。

回答No.3

Quattro99

不等式である時点である条件があることになるはずです。それを考慮してみてください。

回答No.2

info22_

-2≦√(1+k)　と
-1≦√(1+k)　は
1+k≧0つまり「-1≦k」 で　√(1+k)≧0より
常に成立するのではないですか？
なのでこの不等式の解は単に「-1≦k」です。

貴君の間違いは不等式の両辺を２乗して解いた所です。

お礼

ありがとうございます。
ただどうして二乗してはいけないのですか？
ルートを外す際に二乗したら他も二乗しないとダメなんじゃないですか？

回答No.1

Tacosan

どうしたら
上 -5≦k≦1 下 0≦k≦3
になるのですか?

補足

二乗して計算しました…