積分が難しくてできません。

質問

次の積分ができないのですが、どなたか方針だけでも教えていただけませんか？
∫[R-a→R+a]√a²-(R-r)²/rdr　です。
　よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

0<a<Rとして
I=∫[R-a→R+a]√{a²-(R-r)²}/r dr
を求めるのであれば

数式処理ソフトwxMaximaを使って計算したところ

I=π{R-√((R^2)-(a^2))}

となりました。

[検算]
R=3,a=1の場合
I=∫[2→4]√{1-(3-r)²}/r dr=π(3-2√2)≒0.539012
π{R-√((R^2)-(a^2))}=π(3-2√2)≒0.53901
数値計算でも求めると
0.539012…
と全て一致します。
この場合のグラフを添付しておきます。
図の灰色塗り潰し領域の面積が積分値になります。

回答No.4

Ae610

ANo.2です。
どうやら途中で計算をやめてしまったので、ちと見難い回答になってしまいましたが逆三角関数の加法定理によって
arctan{(a＋R)/√(R^2－a^2)}－arctan{(a－R)/√(R^2－a^2)} = π/2
となり、従ってANo3の答（と一緒！！）になります。

失礼しました・・・！

回答No.2

Ae610

∫[R-a→R+a]{√(a^2－(R－r)^2)/r}dr　（√の中身が(a^2－(R－r)^2)・・・であると解釈する。
r = R＋a・sinθと置いてみると
dr = a・cosθdθ
r = R-aのときθ = -π/2 , r = R+aのときθ = π/2

与式 = ∫[-π/2→π/2]{a^2・cos^2(θ)/(R＋a・sinθ)}dθ
={Rθ＋a・cosθ－2√(R^2－a^2)・arctan{(a＋R・tan(θ/2))/√(R^2－a^2)}}|[θ=-π/2→π/2]
={πR－2√(R^2－a^2)・(arctan{(a＋R)/√(R^2－a^2)}－arctan{(a－R)/√(R^2－a^2)})

（計算が簡単に出来ないようなので、面倒だがtan(θ/2)=tとでも置いて有理化してひたすら計算！）

回答No.1

noname#152422

いつも思うんですが、その被積分関数が

(√(a²-(R-r)²))/r
((√a²)-(R-r)²)/r
(√a²)-((R-r)²/r)
√(a²-((R-r)²/r))
√((a²-(R-r)²)/r)

（ほかにもある？）のどれなのかわかるように、必要な括弧を入れてください。
それから、Rやaは任意の実数ですか？
何か条件があるならそれも書いてください。

補足

申し訳ありません、ご指摘ありがとうございます。

　(√(a²-(R-r)²))/r

で、a,Rは定数です。