ビュフォンの針に関する問題です

質問

画像の問題がサッパリわかりません。。。

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

Wikipediaの
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%83%A5%E3%83%83%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%87%9D
このページに解法や計算過程があります。

念のために、大学入試問題だと、ちょいと無茶だと思いますが、
理数科高校生のレポート、「大学への数学」の「宿題」みたいな課題
だった場合も考えて、そのときには、こんな具合にやればいいかな、
という線も、(1)だけ示してみます。

針の中心が落ちた点をPとし、Pが、直線L[n]とその隣の直線L[n+1]の間にあるとき、L[n]とPの距離をyとする。

ただし、nは(負や0も含む)整数、

x=0、すなわち、PがL[n]上にあるときは、この間に、
x=a、すなわち、PがL[n+1]上にあるときは、L[n+1]とL[n+2]の間にあるものと考える。
こう考えると、0≦y＜a、

針の向きと、L[n]のなす角をx(rad)とする。
対称性から、0≦x≦π/2 についてのみ考えても、一般性を失わない。

このとき、針の両端は、L[n]から、L[n+1]のある側を正として、
y±(l/2)sin(x)の距離にあるので、
y-(l/2)sin(x)≦0≦y+(l/2)sin(x)、または、
y-(l/2)sin(x)≦a≦y+(l/2)sin(x)であれば、
針と直線が交わる(「交わる」を厳密にとると、不等式の=はない方がよく、
付けていると「共有点を持つ」だが、確率そのものには影響しない)

x,yともに条件を満たす範囲内の値は等確率で現れると考えていいので、
(x,y)の存在範囲は、0≦x≦π/2, 0≦y＜a の長方形となり、面積は、πa/2、
その中で、上の不等式を満たす領域(交わる場合の(x,y)の存在範囲)
の面積を求め、πa/2で割れば、pが求められる。

不等式は、a＞0, sin(x)≧0, y≧0だから、0≦y≦(l/2)sin(x)、
または、y＜aだから、a-(l/2)sin(x)≦y＜a、

図を描くと、２つの不等式の表す領域は面積が等しく、重なる部分はないから、
不等式を満たす領域の面積は、
2∫[0,π/2](l/2)sin(x)dx
= l*∫[0,π/2]sin(x)dx
= l*[-cos(x)]_[0,π/2] = l
よって、p = l/(πa/2) = 2l/(πa)

お礼

回答ありがとうございます(^o^)

あとは自分で考えます！

回答No.2

alice_44

「ランダムに投げる」のランダムさを
明確に定義しなくては、問題が意味を持ちません。
この点は、特に(2)において重要となります。