• 締切済み
  • すぐに回答を!

可解群についてです。

二面体群は可解群であることを示したいのですが、どうも上手く示すことができません。 だれか教えていただけませんか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.3

二面体群はDn=〈σ,τ; σ^2=τ^n=(στ)^2=1〉という表示を持ちます。 いまτの生成するn次巡回群〈τ〉はDnの正規部分群になる(※)ので、隣接する商が可換群になる正規部分群の列(可解列) Dn ⊇〈τ〉⊇ {1} が得られます。これでDnが可解群であることが分かりました。 参考までに、(※)の箇所の詳しい説明です。 Dnはσとτで生成されるので〈τ〉がDnの正規部分群であることを示すには σ〈τ〉σ^(-1) =〈τ〉を示せば十分です。 まず、σ〈τ〉σ^(-1) =〈στσ^(-1) 〉ですが、 σ^2=1よりσ=σ^(-1)なので〈στσ^(-1) 〉=〈στσ〉です。 また関係式(στ)^2=1より〈στσ〉=〈τ^(-1)〉=〈τ〉 こうして、〈τ〉がDnの正規部分群であることが分かります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

正規部分群列の末尾を Dn → … → D1 → {1} とすれば、D1 が可換であることから Dn が可解であることが言える。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

それは成り立たないと思います。

  • 回答No.1
  • hrsmmhr
  • ベストアンサー率36% (173/477)

鏡像を含む巡回群と普通の巡回群が部分群としてあり それぞれの剰余群はやはり鏡像を含む巡回群と普通の巡回群になるので それぞれが可換であることを言えば良いと思いますが

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

鏡像って何ですか?

関連するQ&A

  • 可解群の部分群も可解群であることについて

    可解群について質問です。 「Gが可解群ならば、部分群H⊂Gもすべて可解群である」 ことの証明の途中で、以下の画像のような関係が出てきました。 手持ちの参考書ではここをそのまま流しているのですが、 私にはなぜそうなるのか分かりません。 解説を交えて詳しく説明していただけると助かります。 よろしくお願いします。

  • 可解群について

    可解群の定義で 「A/B(剰余群)は可換群」 というところを「A/Bは巡回群」としても同値な定義になるのはどうしてでしょうか?詳しい証明をお願いします。

  • 群論「可解群」について

    Gを群とする. 「Gの正規部分群Nに対し,NとG/Nがともに可解群ならば,Gもまた可解群である.」 この証明なのですが,途中がわかりません. (∵) G/Nは可解群だから,G/Nの正規列 G/N=G_0/N⊃G_1/N⊃…⊃G_m/N=N/N であって,同型定理より,商群 (G_(i-1)/N)/(G_i/N)≒G_(i-1)/Gi (≒は同型の記号としてください) がアーベル群となるものが存在する. このとき「G_iはG_(i-1)の正規部分群」であることに注意する.…(?) また,Nが可解群だから,Nの正規列 N=G_m⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} であって,商群 G_(j-1)/G_j がアーベル群となるものが存在する.このとき, G=G_0⊃G_1⊃…⊃G_m=N⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} はGの正規列であって,その商群はアーベル群よりなる. よってGは可解群である. Q.E.D とあったのですが,途中の(?)の部分がわかりません. なぜ「G_iはG_(i-1)の正規部分群」となるのでしょうか? 詳しい方お願いします.

  • 可解群の補題の証明

    NをGの正規部分群とするときGが可解であるためには、NおよびG/Nが ともに可解であることが必要十分である。 ということの証明で分からない部分があります。 どなたかご教授願います。 証明 必要性: G=G_0⊃G_1⊃・・・⊃G_r={1}、G_i/G_(i-1):アーベル という部分群列をとる。 φ:G→G/N を自然な全射とφ(G_i)=H_i とおけば (G/N)=H_0⊃H_1⊃・・・⊃H_r={1} となる。 また、各iについてφは自然に φ_iなる全射準同型を引き起こす。 したがってH_(i-1)/H_i:アーベル群となる。 Nの可解性はG:可解群⇒Gの任意の部分群は可解ということで証明が 略されています。 「この証明のまた、各iについて~アベール群となる。までの部分が 良く分かりません。」 もう一つ十分性の証明でも分からないところがあります。 十分性: N、G/Nは可解 N=N_0⊃N_1⊃・・・⊃N_s={1} N_(i-1)/N_i:アーベル (G/N)=H_0⊃H_1⊃・・・⊃H_t={1} H_(i-1)/H_i:アーベル なるものがとれる。 こととき、自然な全射φ:G→G/NによるH_iの逆像をG_iとおけば G=G_0⊃G_1⊃・・・⊃G_t=N さらに、φは自然に同型、G_(i-1)/G_i=H_(i-1)/H_iを引き起こすから 上記Nの部分群列と併せて、Gの可解性が導かれる。 「この証明は最後から2行目のさらに~の自然に同型を引き起こす というところがわかりません。」 「」の2箇所をどなたか解説していただけたら幸いです。 よろしくお願いします。

  • この式は代数的に可解でしょうか

    x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 4x +5 = 0 デーエンがアーベルに問うたという上記の式は、実際のところ代数的に可解ではない式ということなのでしょうか。

  • 群、半群だと何が嬉しいのですか?

    群論(?)について全くといっていいほど勉強したことがないのですが、他の分野の勉強をしている時によく群や半群といった言葉が出てきます。 ・結合則を満たす時に半群 ・更に逆元と単位元が存在すれば群 という定義はわかるのですが、群や半群だと何が良いのでしょうか? (群にはどんな性質があるんでしょうか?) 線形代数の時に、置換は群をなすとか。 力学系の勉強をしている時に、解軌道が半群をなす。 とかチマチマ出てきていたのですが、「定義は確かに満たしてるのはわかるけど… だから何??何がいえるの?」という疑問がいまだに残っています。

  • 解探索について

    はじめまして、現在大学でレイアウト技法について学んでいるものです。 現在レイアウトの解探索にPSO(粒子群最適化)、GA(遺伝的アルゴリズム)、SA(焼きなまし法)のうちどれか一つを用いる予定なのですがもしこれらの技法についてわかりやすく説明している本、もしくはサイトを知っている方いらっしゃいましたらご教授願えないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 解の公式 二つの解

    2χ二乗-5χ+4=0 の二つの解はどのように出しますか? 解の公式を使って解くと、(5-√7)/4と(5+√7)/4になりましたが、合っていますか? /4は4の分母で「4分の」をあらわしています。

  • 解がわからない

    x^3-3x+2-a=0という三次方程式が異なる3つの実数解を持つとき この3解を小さい順に α、β、γとするとα、β、γのとりうる値の範囲を求めよ なんですが、x<0で1個、0<xで異なる2個の共有点をもてばいい と書いてあるのですが、解といわれたらyじゃないんでしょうか?

  • 解なし≠解はない

    解なしと解はないは厳密には意味が違うと学校の先生が言っていたのですが、何が違うのでしょうか。僕は言葉の問題だと思いますが・・・