円と軌跡

質問

次の【】をうめよ。

（１）方程式x^2+y^2+6x-10y-2=0を変形すると
(x^2+6x)+(y^2-10y)=2
(x^2+6x+【】)+(y^2-10y+【】)=2+【】+【】
(x+【】)^2+(y-【】)^2=【】
　　　これは点（【】、【】）を中心とする半径【】の円を表す。

（２）方程式x^2+y^2+4x+2=0を変形すると
x^2+(y^2+4y+【】)=-2
x^2+(y^2+4y+【】)=-2+【】
x^2+(y+【】)^2=【】
これは点（【】、【】）を中心とする半径【】の円を表す。

っと言う問題なのですがこの変形が分かりません。
特に何で一段目から二段目になるのかがわかりません。
どなたか教えてください。m(-_-)m

回答No.1

kexe · ベストアンサー

えっと円の式というのは
(x-a)^2+(y-b)^2=c^2
とあらわし、この円は座標(a,b)を中心に半径cの円ですよね。

ですからこの形に近づけようとしているわけです。
等式では左右に同じ数をたしてもいいわけですから

(x^2+6x)+(y^2-10y)=2
この式のxyのはいったカッコをそれぞれ()^2にしたいわけですから
以下のようにすればいいですね。
(x^2+6x+【9】)+(y^2-10y+【25】)=2+【9】+【25】
(x+【3】)^2+(y-【5】)^2=【36】
よってこれは点（【-3】、【5】）を中心とする半径【6】の円を表す。

という感じです。
２問目も同様なので試しにやってみましょう。
もしできなければ僕の答えをまねてみてください。

お礼

ああ、そうか。こんなことに気づきませんでした(汗)
２乗した形にするんですね。

どうもありがとうございました。

回答No.4

Nickee

(1)x^2+y^2+6x-10y-2=0
(x^2+6x)+(y^2-10)=2
(x^2+6x+9)+(y^2-10y+25)=2+9+25
(x+3)^2+(y-5)^2=36=6^2

(2)x^2+y^2+4y+2=0
x^2+(y^2+4y+4)=-2+4
x^2+(y+2)^2=2^2

これは(x+a)^2=x^2+2xa+a^2の公式をつかってやりました。(2)の方はたぶん、4xではなく4yだろうと思ってときました。(2)の2段目はよくわかりませんが、どうしても、入れるなら、0だとおもいます。

等式の約束として、左辺に数をたすと、右辺も同じだけたさねければならないことは、わかりますよね。天秤を考えるとわかりますよ。そうしないと、等式ではなくなってしまいますからね。だから、左辺から、右辺に移行するときは、符号を変えるですよ。たとえば、
x+3=y+5
x+3-3=y+5-3
x+0=y+5-3
x=y+5-3
もし、違う内容をききたかったのであれば、補足なりなんなりおねがいします。

お礼

いきなり解答を書いてもらってありがとうございました。
参考になります。

回答No.3

Ryo_Hyuga

はじめまして。

>特に何で一段目から二段目になるのかがわかりません。
平方完成が分からないということですね。
まず、円の方程式は下の人の通り、
(X±A)^2+(Y±B)^2=R^2　で表されます。
この問題では、まず最初に左辺をXとYでまとめてみます。
(X^2+6X)+(Y^2-10Y)　こうなりますね。
ここで『平方完成』というやり方を使います。
まず(X^2+6X)の方から考えていきます。
最終的には(X±A)^2というカタチにしたいわけですから、
6Xの半分の3X...ここからXを取り除いた『3』をAとして考えましょう。
そうすると、(X+3)^2となります。展開すると(X^2+6X+9)です。
X^2+6Xの部分まではあっていますが、9が余分に出てきてしまいましたね。
それなら、右辺にも9を足せば同じになるはずです。

同じやり方でYについて解くと、(Y^2-10Y+25)になって、25が余分です。
これを同じように右辺にたせばいいのです。

よって、(X^2+6X+9)+(Y^2-10Y+25)=2+9+25

こんな感じでよろしいでしょうか？
参考にして頂ければ幸いです。

お礼

どうもありがとうございました。
「平方完成」という名称なんですね。はじめてしりました。

回答No.2

nagata

単に平方完成(て呼ぶんだっけ?)しているだけです。
x^2+2ax+a^2=(x+a)^2
という式変形を使ってxをまとめてしまうと,なにかと都合が良いのです。

例えばx^2+6xならばxの1次の係数が6なのでaは3になります。
なので(x+3)^2=x^2+6x+9を利用して
x^2+6x=x^2+6x+9-9=(x+3)^2-9と変形できます。

ちなみに2次方程式の解の公式はこのようなやり方で導き出されます。

お礼

どうもありがとうございました。

やっと謎は解決しました。