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円と軌跡

次の【】をうめよ。 (1)方程式x^2+y^2+6x-10y-2=0を変形すると (x^2+6x)+(y^2-10y)=2 (x^2+6x+【】)+(y^2-10y+【】)=2+【】+【】 (x+【】)^2+(y-【】)^2=【】    これは点(【】、【】)を中心とする半径【】の円を表す。 (2)方程式x^2+y^2+4x+2=0を変形すると x^2+(y^2+4y+【】)=-2 x^2+(y^2+4y+【】)=-2+【】 x^2+(y+【】)^2=【】 これは点(【】、【】)を中心とする半径【】の円を表す。 っと言う問題なのですがこの変形が分かりません。 特に何で一段目から二段目になるのかがわかりません。 どなたか教えてください。m(-_-)m

noname#37213
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  • 回答No.1
  • kexe
  • ベストアンサー率30% (58/189)

えっと円の式というのは (x-a)^2+(y-b)^2=c^2 とあらわし、この円は座標(a,b)を中心に半径cの円ですよね。 ですからこの形に近づけようとしているわけです。 等式では左右に同じ数をたしてもいいわけですから (x^2+6x)+(y^2-10y)=2 この式のxyのはいったカッコをそれぞれ()^2にしたいわけですから 以下のようにすればいいですね。 (x^2+6x+【9】)+(y^2-10y+【25】)=2+【9】+【25】 (x+【3】)^2+(y-【5】)^2=【36】 よってこれは点(【-3】、【5】)を中心とする半径【6】の円を表す。 という感じです。 2問目も同様なので試しにやってみましょう。 もしできなければ僕の答えをまねてみてください。

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質問者からのお礼

ああ、そうか。こんなことに気づきませんでした(汗) 2乗した形にするんですね。 どうもありがとうございました。

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  • 回答No.4
  • Nickee
  • ベストアンサー率15% (14/93)

(1)x^2+y^2+6x-10y-2=0 (x^2+6x)+(y^2-10)=2 (x^2+6x+9)+(y^2-10y+25)=2+9+25 (x+3)^2+(y-5)^2=36=6^2 (2)x^2+y^2+4y+2=0 x^2+(y^2+4y+4)=-2+4 x^2+(y+2)^2=2^2 これは(x+a)^2=x^2+2xa+a^2の公式をつかってやりました。(2)の方はたぶん、4xではなく4yだろうと思ってときました。(2)の2段目はよくわかりませんが、どうしても、入れるなら、0だとおもいます。 等式の約束として、左辺に数をたすと、右辺も同じだけたさねければならないことは、わかりますよね。天秤を考えるとわかりますよ。そうしないと、等式ではなくなってしまいますからね。だから、左辺から、右辺に移行するときは、符号を変えるですよ。たとえば、 x+3=y+5 x+3-3=y+5-3 x+0=y+5-3 x=y+5-3 もし、違う内容をききたかったのであれば、補足なりなんなりおねがいします。

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質問者からのお礼

いきなり解答を書いてもらってありがとうございました。 参考になります。

  • 回答No.3

はじめまして。 >特に何で一段目から二段目になるのかがわかりません。 平方完成が分からないということですね。 まず、円の方程式は下の人の通り、 (X±A)^2+(Y±B)^2=R^2 で表されます。 この問題では、まず最初に左辺をXとYでまとめてみます。 (X^2+6X)+(Y^2-10Y) こうなりますね。 ここで『平方完成』というやり方を使います。 まず(X^2+6X)の方から考えていきます。 最終的には(X±A)^2というカタチにしたいわけですから、 6Xの半分の3X...ここからXを取り除いた『3』をAとして考えましょう。 そうすると、(X+3)^2となります。展開すると(X^2+6X+9)です。 X^2+6Xの部分まではあっていますが、9が余分に出てきてしまいましたね。 それなら、右辺にも9を足せば同じになるはずです。 同じやり方でYについて解くと、(Y^2-10Y+25)になって、25が余分です。 これを同じように右辺にたせばいいのです。 よって、(X^2+6X+9)+(Y^2-10Y+25)=2+9+25 こんな感じでよろしいでしょうか? 参考にして頂ければ幸いです。

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質問者からのお礼

どうもありがとうございました。 「平方完成」という名称なんですね。はじめてしりました。

  • 回答No.2
  • nagata
  • ベストアンサー率33% (10/30)

単に平方完成(て呼ぶんだっけ?)しているだけです。 x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 という式変形を使ってxをまとめてしまうと,なにかと都合が良いのです。 例えばx^2+6xならばxの1次の係数が6なのでaは3になります。 なので(x+3)^2=x^2+6x+9を利用して x^2+6x=x^2+6x+9-9=(x+3)^2-9と変形できます。 ちなみに2次方程式の解の公式はこのようなやり方で導き出されます。

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質問者からのお礼

どうもありがとうございました。 やっと謎は解決しました。

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