• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

加速度、速度、距離、時間の関係について

加速度、速度、距離、時間の関係式について教えて下さい。 本文では以下の記号を用います。 加速度:a 速度:v 距離:x 時間:t ・小学校の時などには「はじきの法則」で習う場合。 x = v・t  ・・・式(1)  (距離=速度×時間) ・高校物理で微分積分を用いる場合。  加速度の定義  a = dv/dt v = a・t + c (c:積分定数) ・・・式(2)  (速度=加速度×時間)    速度の定義 v = dx/dt ・・・式(3) x = v・t + c (c:積分定数) ・・・式(4)( = 式(1))  式(3)に式(2)を代入して積分すると、 a・t = dx/dt x = (1/2)・a・t^2 + c (c:積分定数) ・・・式(5)   しかし、「はじきの法則」(式(1))の印象が強いため、 式(1)に式(2)を代入した、下記の式と勘違いするのですが・・・・。 x = a・t^2 + c (c:積分定数) ・・・式(6)  式(6)が誤っている理由の解説をお願いします。  

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数2073
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

結論からいうと式(1)は等速の場合しか使えません。 等速でない、つまり加速度が0でない場合に式(1)を使うことが間違っています。 式(2)もこれが成り立つのは一定の加速度の場合のみです。 速度とは、二点間を移動するときに、移動距離を移動にかかった時間で割ったものです。 より正しくはこれは平均の速度で、移動距離や移動時間を無限小にしたものが瞬間の速度(単に速度)です。 さてこの平均の速度を考えてみましょう。 時刻tにx(t)にあったものがΔtだけ時刻が経過したときにx(t+Δt)にあったとすると平均の速度は v(t) = [ x(t+Δt) - x(t) ] / Δt これを書き換えて x(t+Δt) = x(t) + v(t) Δt 移動時間Δtが十分に短い時間であれば、これがいつでも成り立ちます。 そこで、微小時間Δtの間隔に分割して時刻0から考えていくと、 x(Δt) = x(0) + v(0) Δt x(2Δt) = x(Δt) + v(Δt) Δt x(3Δt) = x(2Δt) + v(2Δt) Δt x(4Δt) = x(3Δt) + v(3Δt) Δt ・・・・・ x([n-1]Δt) = x([n-2]Δt) + v([n-2]Δt) Δt x(nΔt) = x([n-1]Δt) + v([n-1]Δt) Δt このときに、一般にはvが時刻によって変っていくのがミソで、 上のすべての式で同じvを使えません。 これを全部加えるとx(iΔt)の部分がx(0)とx(nΔt)を残して全て消えて x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v([i-1]Δt) Δt 速度が時間によって変らない場合、つまり加速度が0であればv([i-1]Δt)を定数vとできるので x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v Δt = x(0) + v nΔt ここで移動距離なのでx(0)=0とし、t=nΔtと書けば式(1)が出てきます。 つまり、式(1)は等速の場合しか使えません。 加速度が0ではなく速度が式(2)で与えられる場合 v([i-1]Δt) = a・[i-1]Δt + c なので x(nΔt) = x(0) + Σ[i=1,n] v([i-1]Δt) Δt = x(0) + { Σ[i=1,n] [i-1] } aΔt^2 + c nΔt ここにある和は Σ[i=1,n] [i-1] =n(n-1)/2 ~ n^2/2 (n >> 1の場合) となるので x(nΔt) = x(0) + (1/2) a(nΔt)^2 + c (nΔt) 前同様にx(0)=0、t = nΔtとして x(t) = (1/2) a t^2 + ct になります。(式(6)、間違ってますね。) これから、tを一定にする条件でΔt→0、n→∞の極限を取ったものが積分です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

x(t) = (1/2) a t^2 + ct 上記の式のおける ct の部分が 小学校の時の「はじきの法則」における "速さ(初速)×時間"だったんですね。 やっと理解できいました。 回答ありがとうございます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 まず、積分。 dv/dt = a v = ∫adt = a∫dt = at + C1 ・・・(あ) t=0 のときのvを「初速」と置けば、 初速 = a×0 + C1 初速 = C1 よって(あ)は、 v = at + 初速 x = ∫vdt = ∫at + 初速 dt  = a∫tdt + 初速∫dt  = 1/2・at^2 + 初速×t + C2 ・・・(い) t=0 のときのxを「最初の位置」と置けば、 最初の位置 = 1/2・a×0^2 + 初速×0 + C2 最初の位置 = C2 よって(い)は、 x = 1/2・at^2 + 初速×t + 最初の位置 -------------------------------- では、逆に微分。 速度v = dx/dt = d/dt(1/2・at^2 + 初速×t + 最初の位置)  = at + 初速 加速度 = dv/dt = d/dt(at + 初速)  = a

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

式(1)は速度vが定数の時にしか成り立ちません

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 加速度→速度→変位の関係

    加速度,速度,変位の関係を微分積分を使ってやさしく詳しく教えてください。

  • 1階線形微分方程式の問題です。

    自分の持ってる参考書(サイエンス社の基本微分積分)の dy/dx+ycosx=sinxcosx を解けという問題についてです。 解説で y = exp(-∫cosx dx){∫sinxcosx exp(∫cosx dx)dx+C} = exp(-sinx){∫sinxcosx exp(sinx)dx+C} と書かれているところがあります。上の式になるのは一般解の式に代入する形でそのようになるのはわかるのですが、そのあと下の式にどうしてなるのかがわかりません。 自分的には 下の式=exp(-sinx + C1){∫sinxcosx exp(sinx + C2)dx+C} というようにC1やC2といった積分定数が出てくるのではないかと思うのですが、どうして参考書には積分定数がないのでしょうか? ちなみに、この問題の答えは y = sinx - 1 + Cexp(-sinx) (Cは積分定数) となっています。

  • 加速度と速度と距離は積分していくことで成立するもの

    加速度と速度と距離は積分していくことで成立するものですか? 上記は表現が正確でないかも知れませんが、 2階微分とは加速度と速度と距離における関係では、 どのような状態を言いますか?

  • 微分・積分

    仮にA=-Δy/Δxという公式があったとします。これはyの式をxで微分して-1を全体にかけろって考えかたでよろしいのでしょうか?仮に、xとyのパラメータを集めてそれをグラフ化し、エクセルで曲線のグラフを作ります。その曲線に近似曲線を当てはめて公式を作ったとします。この近似曲線の公式をyと見立ててxで微分して近似曲線の微分公式を作成して,個々それぞれのx値を代入していく方法で部分的なAという値は求まるのでしょうか?また近似曲線のR^2値は1に近ければ近いほど近似されていると考えてよろしいのでしょうか?近似曲線の次数を上げればあげるほどR^2値が1に近づく場合はやはり1番高い次数の公式を使用したほうがよいのでしょうか?微分積分と聞くとなぜか接線とか加速度・速度・距離の微分積分の関係をイメージしてうんですがいまいちよく理解できていない点が多すぎて困ってます。物理では昔、微分やら積分などを使っていた記憶があるのですが、そのとき微分・積分の式(Δy/Δxや∫f(x)dx)を色々とこねくり回して式を変形させていた記憶があります。この辺がいまいち思い出せなくて困っています。また、F=maをa=F/mとして時間tで積分していくとvという速度の公式になり、それまたvの公式を積分するとxという距離の公式になると思っているのですが、それぞれが不定積分なのでCなどというようなものがついてきます。それが初速度だったり、初期位置だったりというあいまいな記憶があるのですが間違っているのでしょうか?

  • 原始関数の問題の解き方

    以下のように解いたのですが、解答に自信がありません。 途中の式など、間違っていればご指摘のほどよろしくお願いします。 次の原始関数を求めよ。 (1) ∫(x+1)^5 dx x+1=tとおく。 (dt/dx)=1より、dx=dt よって、∫(x+1)^5 dx=∫t^5 dt =(1/6)t^6+C =(1/6)(x+1)^6+C (Cは積分定数) (2) ∫e^(5x) dx 5x=tとおく (dt/dx)=5より、dx=(dt/5) =∫e^(t)(dt/5)+C =(1/5)e^(5x)+C (Cは積分定数) (3) ∫x/(x^2+1)^2 dx =∫{(x+1)-1}/(x^2+1)^2 dx =(1/2)∫{(2x+2)-2}/(x^2+1)^2 dx =(1/2)∫(x^2+1)'/(x^2+1)^2 dx =(1/2)log|(x^2+1)^2|+C (Cは積分定数) (4) ∫1/√(23-x^2) dx 公式 ∫1/√(a^2-x^2) dx=sin^(-1) x/√a+C (a>0)より =sin^(-1) x/√23 +C (Cは積分定数) ご指導、よろしくお願いします。

  • 加速度と速度の関係について

    加速度をa、速度をv、変位x、時間をxとして、 a = -v^3*(d^2t/dx^2) であることを示しなさい。 自分でやると、なぜか答えが dx/dt になってしまい、これではvになってしまいます。 どなたか問題の答え方を教えて頂きたいです。

  • 加速度が速度の一次関数で表される物体の運動

    質量mの物体の運動方程式が、その物体の速度をvとして ma=Kv (Kは定数) と表されるとき、 a=dv/dt, v=dx/dtを代入すると、 dv=(K/m)dxー(1) という関係式がえられます。 この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。 等加速度運動の公式より (v1)^2-(v2)^2=2adx 運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して v1+v2=2ma/K また、dv=v2-v1より (v2)^2-(v1)^2 =(v2-v1)(v2+v1) =2madv/K=2adx ∴ dv=(K/m)dx この結果が意味するのは「運動方程式が ma=Kvで表される物体の運動は等加速度運動である」ということなのでしょうか?

  • 物理の積分がわからない。

    物理の積分なんですが、a=加速度、v=速度、t=時刻を表すとして、 今a=dv/dt⇔dv=adtが成り立っているとします。この両辺を積分するとv(t)=at+C (Cは積分定数) になるみたいなんですが、これが理解できません・・。 不定積分Cはわかりますが、d/dtはtについて微分しろってサインですから、これをtについて積分すればなくなりますよね? すると右辺だけ積分したものはvになり、これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまいわけがわかりません・・・。 ご教授お願いします。

  • 微分積分について

    微分積分初心者です。 dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると ∫dy/dx・dx=∫5dx y=5x + C(Cは積分定数)というのはわかるのですが、 dxを右辺に持って行って、 dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで 積分ということになるのでしょうか? こういうことは可能なのでしょうか? また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 微分と積分の関係

    実数全体で定義された連続関数f(x)に対してg(x)を g(x)=∫【0→x】t*f(x-t)dt で定めます。このとき、g'(x)=∫【0→x】f(t )dt となるそうなんですが、なぜこうなるのかわかりません。以下の定理を参考 にして教えてくださるとありがたいです。 【微分積分の基本定理】 関数F(x)=∫【a→x】f(t)dt は微分可能であり、 (d/dx)F(x)=f(x)