数式は美しいか？

質問

容疑者Ｘの献身で容疑者の数学者が四色問題について既に２０年前に解かれた問題についてあの問題の答えの出し方は美しくない！と言って問題を解いていたことやゴルゴ１３の最終暗号についても作中に登場するフリードマンがどこかの大学教授が出した解答について美しくない！と言っていたのを見ました 美しく数式ってどんなものですか？

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

「美しい」というのは、何らか快い感動をもたらす、というほどのことでしょう。
　美しい数式と美しい証明は別の話だろうと思います。美しい数式というと、しばしば
　e^(iπ)+1 = 0
が引き合いに出されます。自然対数の底(ネピア数) e, 円周率π, 虚数単位i, かけ算の単位元1, 足し算の零元0、いずれも数学において極めて重要で基本的と言える定数が勢揃いし、足し算・かけ算・冪乗という基本的な演算が組み合わされて、単純だが自明でない関係を表している。その意外性と鮮やかなバランス、というあたりが「美しさ」でありましょう。
　物理学理論に出てくる微分方程式の美しさはまたちょっと違う所にあるように感じます。多様で複雑極まりないものごとを実に端的に要約して、整った形の中に本質を正確に捉えている。たとえば熱方程式
　　Tt + D Txx = 0
これは数式自体というより、それが表す法則の美しさなのかも知れません。

　証明の方では、「美しい」よりも「エレガント」という表現がよく用いられます。茫漠とした複雑極まりない話を、ちょっと思いつかないような視点から整理することで、簡単な問題に変えてしまって解決するようなのはエレガントです。中学校の幾何学の問題で、あるすばらしい補助線を一本見つけるとあっさり解決する、というのがその萌芽でしょう。たとえば、「ロバの橋」と呼ばれる補助線は有名です。
　また、問題をもっと一般化してから解決する、というのもよく出てきます。一般化すれば一層難しくなりそうなものですが、その際に本質的でないものをそぎ落とすことで話が整理されて、問題がある意味でより「美しく」なる。そしてそれを「美しく」解決する、ということです。その一般化によって、新しい分野が拓けるということもしばしばあるので、ただの証明にはとどまらない豊穣さもまた美しさの要素になるでしょう。（「美」って字はもともと「大っきな羊」ということなのですし。）
　実数が自然数よりも沢山ある、という話に出てくる「対角線論法」（幾何学じゃありません）は、美しいと言う人と気持ち悪いと言う人に別れるかも知れません。なにかを「網羅するのは不可能である」ということの証明に用いられる定石になっていて、たとえば一つの金字塔である「不完全性定理」もこれを使って証明されます。一般に、「不可能」の証明や存在証明（「存在することは確かだが具体的に見せてみろと言われても出来ない、そういう例が存在する」ということの証明）では、あらゆる逃げ道を全部完璧に塞がねばならないんで、シラミつぶしではなかなかできない。全体にふわりと網を掛けるようなアイデアが必要なので、必然的にエレガントにならざるを得ないように思います。
　エレガントの反対は泥臭いということで、たとえば、あらゆる場合を丁寧に調べてシラミ潰しする。四色問題はコンピュータを使ってシラミ潰しをやったもんだから、「こんなの証明になってるのか」という議論も起こりました。そんな証明はとても読む気にならん、という意味で明らかに「美しくない」ですよね。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

数式の美しさには、結論に至るまでに簡潔さが示す美しさと、
数式そのものの対称性などが示す美しさがあります。
両者は必ずしも別物ではありません。

物理学者ディラックは後者の美しさを重要視して
ディラックの方程式を編み出し、特殊相対論と
量子力学を融合させることに成功しています。

マックスウェルが編み出したマックスウェル方程式の
対称性の美しさは、方程式が正しいものであるということを
強く訴えてきます。アインシュタインの重力方程式も
眩ばかりの対称性を誇り、その正しさを確信させてくれます。

数式の美しさは理論の正しさを計るための重要な指標です。
美しくない数式は理論の欠陥を匂わせます。

おそらく数式の美しさは、人間の直感力と大きく
関係しているのでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

asuncion

四色問題の解き方が（数学的に）美しくない、という理由は、
コンピューターに頼ったためではないかと思います。

お礼

回答ありがとうございます