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統計の問題です。

s、tがそれぞれ独立で、平均0、分散σ^2の正規分布に従うとする。 1回目の試行 a(1+s)、(a>0)を行い、a(1+s)が1を超えていなかった場合に その状況を踏まえ、2回目の試行 b(1+t)、(b>0)を行うとする。 i) 下記の条件を満たすaをσを使って表せ。 全(1回または2回)の試行合計が1を超える確率が99.99% ・・・ (1) その中で、全(1回または2回)の試行合計の期待値が最小 ・・・ (2) ii) 1回目の試行後、bをどのように求めればよいか、σ、a、sを用いて表せ。

みんなの回答

noname#227064
noname#227064
回答No.7

度々すみません。 ANo.6ですが、これも駄目でした。 この方法ですと、a=0, b=1/(1-3.719σ)に設定してしまいますね。 Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001 という条件ではなく ∫[-∞, (1-a)/a]φ(s/σ)Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))/σds = 0.0001 とするべきでした。 しかし、これからa, bを決定するのは私では力不足のようです。

joe81
質問者

補足

なかなか難しいですね。お手数をお掛けしてしまいました。

noname#227064
noname#227064
回答No.6

ANo.5補足 > 1回目で99.99%の設定にすると、2回の試行を合わせると99.99%を超えてしまいます。 > 残念ながら、コスト最小とはいかないと思えます。 どうしてもコストを最小にしたいのですね。 では、ANo.1の方法でもう少し考えてみましょう。 Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001 という条件があるので、これからsが得られたのちにbの値を決定することができます。 b = (1-a(1+s))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))) 次に試行合計の期待値ですが、 a(1+s)>1のときはa(1+s)、a(1+s)≦1のときはa(1+s)+b(1+t)が試行合計になるので、その期待値は ∫[(1-a)/a, ∞]∫[-∞, ∞]a(1+s)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds+∫[-∞, (1-a)/a]∫[-∞, ∞](a(1+s)+b(1+t))φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds = ∫[-∞, ∞]∫[-∞, ∞]a(1+s)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds+∫[-∞, (1-a)/a]∫[-∞, ∞]b(1+t)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds = a+∫[-∞, (1-a)/a]bφ(s/σ)/σds = a+∫[-∞, (1-a)/a]((1-a(1+s))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))))φ(s/σ)/σds = a+∫[-∞, (1-a)/(aσ)]((1-a(1+σs))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))))φ(s)ds = a+(1-a(1+σ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]sφ(s)ds))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))) = a+(1-a(1+σφ((1-a)/(aσ))))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))) となります。 従ってこれが最少になるようにaを設定すれば良いことになります。 勿論ANo.1で示した範囲も満たす必要があります。

noname#227064
noname#227064
回答No.5

ANo.4補足 > 例えば、内容量100gと表示されている食べ物(ここでは、キャビアとでもしておきましょう。)を容器に詰めることを考えていることを伝えたかったのです。 そういう話であれば、1回目で99.99%の確率で1を超えるように設定し、2回目は99.99%の確率で足りない量が入るように設定する、つまり a = 1/(1 -3.719σ) b = (1-a(1+σs))/(1-3.719σ) とするのが簡単ではないでしょうか。 ANo.4は最初にa,bを決めておいて、トータルの合計が1を超える確率が99.99%になるようなa,bを求める場合です。 ANo.1は最初にaだけ決めておいて、トータルの合計が1を超える確率が99.99%になるようなaを求める場合です(この場合bはa,sの値で決定される)。

joe81
質問者

補足

1回目で99.99%の設定にすると、2回の試行を合わせると99.99%を超えてしまいます。 残念ながら、コスト最小とはいかないと思えます。

noname#227064
noname#227064
回答No.4

ANo.3に追加 > これを満たすa,bを求めるのは簡単ではありませんが > 0 ≦ Φ(-1/σ) ≦ Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ)) ≦ 1 > という条件から この不等式は -∞< x ≦ (1-a)/(aσ) を満たすときに成り立ちます。

joe81
質問者

補足

すみません。問題の意図が伝わってないかもしれません。 例えば、内容量100gと表示されている食べ物(ここでは、キャビアとでもして おきましょう。)を容器に詰めることを考えていることを伝えたかったのです。 100gは超えないといけないけど、コストを下げるために、できるだけ超える量 は少なくしたい。しかも一度容器に入れたキャビアはもとには戻せない。 そんな問題と考えて頂ければと思います。 なので、1回目にどれだけ入れれば(より正確には、入れようとすれば)よいかは求 まるのではないかなぁと思ってるんですが、私にはちょっと難しいのです。1回目 に例えば、99g入ったとすると、二回目は1gちょっとを目標にすればよいはず なので、bも求まりそうに「感じて」ます。問題をちゃんと書けていないのかもし れません。 いかがでしょうか?いろんなところで、応用が利きそうですよね?

noname#227064
noname#227064
回答No.3

i) (1)についてもう少し考えてみました。 標準正規分布の確率密度関数をφ、分布関数をΦとします。 a(1+s) > 1 となる確率と s ≦ (1-a)/a であるときに a(1+s)+b(1+t) > 1 となる確率の和が99.99%にならなければいけないので、a, bは次の等式を満たす必要があります。 0.9999 = ∫[(1-a)/a, ∞](φ(s/σ)/σ)ds + ∫[-∞, (1-a)/a]∫[(1-a(1+s)-b)/b, ∞](φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2)dtds = ∫[(1-a)/(aσ), ∞]φ(x)dx + ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(x)φ(y)dydx = 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)dx + ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(y)dydx = 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)(1-∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(y)dy)dx = 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)∫[-∞, (1-a(1+σx)-b)/(bσ)]φ(y)dydx = 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx すなわち ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx = 0.0001 これを満たすa,bを求めるのは簡単ではありませんが 0 ≦ Φ(-1/σ) ≦ Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ)) ≦ 1 という条件から Φ(-1/σ)Φ((1-a)/(aσ)) ≦ ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx = 0.0001 ≦ Φ((1-a)/(aσ)) なので、これからaの範囲をある程度絞れます。 0.0001 ≦ Φ((1-a)/(aσ)) から得られる範囲はANo.1で示した通り。 i) (2)については、二回目の試行が確率1-Φ((1-a)/(aσ))でb(1+t)、確率Φ((1-a)/(aσ))で0となると考えれば、試行合計の期待値は a + (1-Φ((1-a)/(aσ)))b となることがわかります。 これが最少になるようにaを設定することになるのですが… どうすればいいんでしょうかね? ii)はbをどう設定しろと言っているのかがわからないので答えられません。

noname#227064
noname#227064
回答No.2

ANo.1 Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))にsが入っていたら独立にはならなかったですね。 やっぱり駄目でした。 ということでANo.1は無視してください。

joe81
質問者

補足

ありがとうございます。私ももう少し考えてみたいと思います。 回答は、引き続きお待ち申し上げております。 よろしくお願いいたします。

noname#227064
noname#227064
回答No.1

標準正規分布の分布関数をΦとします。 一回目の試行a(1+s)が1を超える確率はsがN(0, σ^2)に従うことから Pr{a(1+s) > 1} = Pr{s > (1-a)/a} = Pr{s/σ > (1-a)/(aσ)} = 1-Pr{s/σ ≦ (1-a)/(aσ)} = 1-Φ((1-a)/(aσ)) となる。 確率Φ((1-a)/(aσ))で二回目の試行を行うことになり、この条件下での試行の合計が1を超える確率はtがsとは独立にN(0, σ^2)に従うことから Pr{a(1+s)+b(1+t) > 1} = Pr{t > (1-b-a(1+s))/b} = Pr{t/σ > (1-b-a(1+s))/(bσ)} = 1-Pr{t/σ ≦ (1-b-a(1+s))/(bσ)} = 1-Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) となる。 従って、合計が1を超える確率は 1-Φ((1-a)/(aσ))+Φ((1-a)/(aσ))(1-Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))) = 1-Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) これが0.9999でなければいけないので Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001 これはΦ((1-a)/(aσ))とΦ((1-b-a(1+s))/(bσ))とを軸にグラフを描けば直交双曲線になる。 Φ((1-a)/(aσ))もΦ((1-b-a(1+s))/(bσ))も上限は1であることから Φ((1-a)/(aσ)) ≧ 0.0001 ⇔ (1-a)/(aσ) ≧ Φ^(-1)(0.0001) ⇔ 1-a ≧ aσΦ^(-1)(0.0001) ⇔ 1 ≧ a(1+σΦ^(-1)(0.0001)) これからi) (1)の条件を満たすには 1+σΦ^(-1)(0.0001) > 0 ⇔ σ < -1/Φ^(-1)(0.0001) = 0.2689 ならば a ≦ 1/(1+σΦ^(-1)(0.0001)) = 1/(1 -3.719σ) σ ≧ 0.2689ならばa > 0であれば良いということがわかる。 というようにi) (1)だけ考えてみましたが、こんな解答でOKなのでしょうか?

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