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小学校のかけ算の問題について

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お礼率 69% (585/836)

数学カテゴリと迷ったのですが、こちらで質問させていただきます。

とある掲示板で、小学2年生の算数の問題が話題になっていました。

「子供が5人います。お菓子を2個ずつ配ると、お菓子は全部で何個になりますか?」

回答は以下のとおりだそうです。
 2×5=10 ○
 5×2=10 ×

元の掲示板では、その様に教える様に指導されているとのことですが
下の式が×になる理由がわかりません。
どの様な理由によるものなのでしょか?

よろしくお願いします。
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回答 (全33件)

  • 回答No.23
レベル1

ベストアンサー率 0% (0/0)

>sekibunnteisuu様からの問いがありますので、
>>いつ…(中略)…これからは好きな順番で式を書いてよいのだと教えるのでしょうか。

この質問は私ではないのですが同じ疑問を持っていたので、まあいいです。

新指導要領では簡単な文字式や順列組み合わせを小学校で教えると聞きました。

順序をさんざん言われた児童が、xが3つで3xというのを素直に受け入れるでしょうか?
A,B,C,Dの並べ替えは何通りか?一般的な樹形図の考え方で一般的な(1あたり)×(いくつ分)にすると、1×2×3×4で、ひどく考えずらいと思いますが。

頭に浮かんだ順、文章題に出てきた順というのはそれはそれで合理的な方法だと思います。
ただしそれとて強要すべきじゃないと思います。

足し算の順序に拘る人もいるようです。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_14.html

足し算の順序に拘る人は「添加には順序があるが合併には順序がない」と言うのが普通ですが、「足し算の順序でバツになった」という事例があって、どう見ても合併的な問題でした。どうも、文章題に出てきた順序にしなかったのが原因のようです。
足し算の場合、添加か合併かを見抜き、添加なら何が何に足されているかを見て、合併なら問題文に出てきた順にして・・

アホらしい話です。


■割合、密度、速さなどに関して

 以前、700円の3割合が分からない中学生がいて、「100円の3割は?」とヒントを与えたら答えることができました。
100円の3割が30円だからその7倍と考えたわけです。

700円の3割合は、1円の3割が0.3円でその700倍と発想しようが、700円の0.3倍と発想しようが、どちらでもいいはずです。

「比べられる量=もとにする量×割合」のみを正しいとすることで、自分なりに一生懸命考えて正しい結論に至った子が「その式は違う」と言われて混乱する可能性があります。

密度や速さも、体積や時間の方を(1あたり)とみなす捉え方は可能です。

私自身は、小学校3年か4年のときに「あれ?割り算に2種類あるな、20を4つに分けるのも、20の中に4がいくつあるのかも、両方20÷4だ、へ~、面白いな。でも、どちらも4に何を掛ければ20になるのかということだから、同じなのは当たり前だな」と思った記憶があります。http://suugaku.at.webry.info/201102/article_17.html

 もし私がかけ算の順序だの(1あたり)と(いくつ分)の区別を執拗に言われていたら混乱したかも知れません。

 (1あたり)と(いくつ分)の区別など意識しなかったのでその後も柔軟に考えることができたと思います。

体積5の真空容器に期待を充填していく。密度が3のときの質量は?密度が1増える事に質量は5増えるから、と考えることができます。

3時間歩く。時速1kmだと3km、時速2kmだと6km、・・・、という発想が絶対間違っている、とは思えません。

割合、密度、速さであっても、順序に拘る必要はありません。それぞれの意味を理解さえしていればいいわけです。
ところが、順序まで指定されると結局は公式を暗記することになりかねません。

「みはじ」「はじき」「くもわ」などを教え込み、それに当てはめることで「理解した」とされているのが現状ではないでしょうか?

「これ何算?」という子どもの問いにしても、

結局、問題に対して答えを出すことのみに全力を傾ける、答えさえ出せるなら、間違った考えでなければ、どう考えたっていい、自由に考えればいい、

とはなっていないで、

問題に対する答え方の「型」があって、それに当てはめるのが算数・数学となってしまっているからだと思います。

しかもそれが、「答えさえ合えばいいのではない。考え方が大切です。答えに行き着くまでの過程が大切です」という美辞麗句によって正当化されているのです。

3時間で120km進む。6時間では?

速さの概念を理解してしまっている子は見た瞬間に、120×2で求められることが分かりますが、そうやって解いたらバツになったという事例を聞きました。

120÷3=40 と速さを出して 40×6=240 とするのが「正しい方法」だそうです。



■順序の「効用」について

順序に拘る教え方をする人やそれを擁護する人には、「本当に正しい順序がある」と固く信じている人と、「あくまで教え方として順序が有用」という人がいます。

前者はかけ算を理解していないと言えます。後者とは議論が可能です。

しかし、「順序を意識させることでかけ算の意味の理解が促させる」ということであれば、「本当に正しい順序がある」と固く信じている人の存在を説明できません。順序によって理解が促されたなら「順序は関係ない」となるはずです。

また、嘘を教える以上、その正当化のためにはそれなりのデータなり納得できる論拠が必要だと思いますが、

「発展段階を考慮して順序を指導するのが望ましい。」という「定説」を繰り返し聞かされるばかりで、順序を指導しなかった場合と比較してどれだけ効果的であるかのデータは見たことがありません。

教師自身が「なぜかはよく知らないがとにかくそう教えることになっている」となってしまい、「ずつが先」だの「単位のサンドイッチ」だのかけ算の理解とは無縁な教え方をしています。「正しい順序」が手段でなく目的になってしまっている証拠です。

「長方形の面積にまで順序に拘ったり、『ずつ』やサンドイッチは邪道だ。適切な授業であれば、順序は有用だ」

という意見もあるかも知れませんが、

その理屈で言えば「順序はどうでもいい」も優秀な教師が上手に教えれば素晴らしい授業になるでしょう。

ちなみに↓のような実践例もあります

北海道算数数学教育会小学校部会
http://hokkaido-sannsuu.com/s_sidouan.html
http://hokkaido-sannsuu.com/pdf_sidouan/02/2nenkakezan3.pdf
>自分が計算しやすいように1あたり量を任意に決めてかけ算を使う経験の積み重ねが、乗法による処理の有効性に気づかせ、生活に生かそうとする態度を養うことになる。
>式から形式的に交換法則をとらえるのではなく、「前から見ると…」「横から見るとと…」などと1当たり量を柔軟にとらえる見方こそが大切である。




■ネットでの議論が可能になったことは素晴らしい

何かの団体や研究会に所属しなくとも、地理的制約もなく、お互いに素性も知らず、利害関係やしがらみもなく、誰もが見れる環境でこういうことが議論できるのは素晴らしい。

私は算数教育については素人だが、素人が意見や疑問を言うことが一般的に否定されてはならないと考える。
電力会社関係者以外も原発について意見を言っていいと思う。


■「順序はどうでもいい」は私だけの意見ではない

「順序はどうでもいい」は私が独善的に持っている理由でない。旧帝大の数学や物理の先生だって言っている。
遠山啓だって言っている。http://blogs.yahoo.co.jp/satsuki_327/33805606.html
都立大・理学部数学科の教授だった荻上紘一(wikiによれば中教審委員らしい)が、数学科教育法の授業の中で、最近(=1980年代)の小学校では、掛け算の順番が逆だと不正解にするが、それは数学的におかしな話しだ!ということを熱弁していたという証言もある。

 しかし、私が「順序はどうでもいい」という根拠は、「大学の数学や物理の専門家が言っているから」ではない。自分なりに根拠がある。だから、「それについてはこの人の意見が参考になるよ」ということはあっても、「順序はどうでもいい」という主張の責任は自分自身にあると思うので、「順序はどうでもいい」に対する疑問や批判に対しては、極力自分の責任で答えたいと思う。

 「順序は有用」という方も、「算数教育業界ではそういう考え方が主流だから」というのはおいておいて、自分自身の根拠を述べて欲しい。

 「ハンセン病での隔離政策」「運動中は水飲むな」などの事例は、主流や常識だからということで、十分な検証をしないことの危険性を示していると思う。

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 54% (1630/2966)

理由は単位のようです。
2*5=10
における「2」の単位は「個」で、それを5倍するから答えの「10」の単位も「個」になるのに対し、
5*2=10
における「5」の単位は「人」なので、それを2倍すると答えは「人」になってしまうので不正解というわけです。

では上の式の「5」の単位は「人」ではないのかとか、「2個」は正しくは「一人当たり2個」であり単位としては「個/人」なのだから、式としてはいずれでも答えは「個」になるのではないかなどと突っ込みどころ満載です。
お礼コメント
siffon9

お礼率 69% (585/836)

ご回答ありがとうございました。
No.7様の欄をお借りして皆様へのお返事とさせていただきました。
投稿日時 - 2011-12-18 18:33:56
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 30% (57/186)

おそらくは単位の問題かと・・・
2(個)ずつ5(人)に配るから10(個)
ただ、こう書くと
5人に2個ずつ配るから10個でも良いじゃないかと思いますよね。
私もそう思います。

無理に説明すると、
×の記号の後ろ側は係数とすると考えれば、
前述の説明と符合するかと思います。

なんにしろ、
授業での説明のしかたを聞かないと正確に判断できませんね~。

たとえば授業中に、
「2×5=5×2
というような関係を交換法則といいます。
ですが、あなたたち小学生が理解しやすいように、
実生活に即した文章題が出題された場合、
単位を考える必要があります。
回答で、2×5というような表記をする場合、
×の前の単位を、後ろの数字倍するとルールを決めます。
問題においては、2個を5倍するので、10個ですね?
でも5人を2倍すると10人となってしまい、
お菓子の個数を答えていることになりませんね?」

という感じで説明されていた場合、
数字の並び順が意味を持ちますから。

とにかく、
自分の子供が間違いとされたときに、
親として説明できる知識を持っていればいいのでは?
小学校教師なんて、
「子供という馬鹿な生物を四六時中面倒見られない親が、
社会性を培わせるという名目で預ける託児所の保母さん・保父さん。」
位の存在
(それはそれで大変なんですが)
だと思うので、教え方の質まで求めるのが間違いだと思います。
お礼コメント
siffon9

お礼率 69% (585/836)

ご回答ありがとうございました。
No.7様の欄をお借りして皆様へのお返事とさせていただきました。
投稿日時 - 2011-12-18 18:34:23
  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 33% (334/1006)

2×5は、「2」と「×5」であって、「2×」と「5」ではないですよね。
2の「5倍」なんです。

つまり、2個のおかしが(分身するように)5倍に増える、というイメージ。

でも5×2なら、
5人の子どもが2倍に増えてしまうでしょう?

そういう理屈じゃあないでしょうか。

算数のテクニックとして、便宜的に、公式を教えるように、
「何個、なら○個の方を先に書くんだよ」などとも教えますが、
本当に理解してほしいところは、上記のようなイメージです。

算数を受験だけではなく、実生活で使えるように、
ただテストの点数をとるためだけのテクニックよりも、
なぜそのような式になるのかという、数学的思考を小学校では大切にしているのだと思います。
実際、小学校のテストでは、式で5点、答えで5点というように配点がされていて、
「答えだけ合っていればいい」というわけではありません。
(教師のやり方という個人レベルではなく、教科書を作っている文部科学省、つまり国の方針が)
お礼コメント
siffon9

お礼率 69% (585/836)

ご回答ありがとうございました。
No.7様の欄をお借りして皆様へのお返事とさせていただきました。
投稿日時 - 2011-12-18 18:35:09
  • 回答No.19

一概に生徒の出した答えを書き方が違うからと不正解にするのは私も反対です。
どうしてそのような回答になったのか理由を聞き、考え方があっていれば正解とするのは理想的だと思います。

ただ、数式がただの数字と記号の羅列なのではなく、説明文なのであると意識づける為には良い題材だと思います。
今はお菓子の総数を知りたくて、2個の固まりが5つあるから2×5なのだと。
説明文は相手に説明できなければ説明にはなりません。そこには共通のルールがなければ、数学と言う言語でやりとりをすることは無理でしょう。
小学校を卒業し数学や物理を学ぶと数式には更により多くの決められた書き方があります。
その決められた書き方の意味がわかれば、学問の本質の理解を助ける事になると思います。
例えば物理学の“説明文”では多くを(原因)=(結果)と表現します。青いから空なのではなく、空だから青いのだと。
物理を専攻した上で、逆に書いても正解じゃん!だって答え一緒だよ!と主張する人は本質のわからない可哀相な人と言う目で見られます。

確かにこれに関しては小学生に教えれば混乱しか生まないと思うので教える必要はないと思いますが、
“数式は説明文である”と小学生から意識する事がその後さらなる学問の理解へと繋がると思います。
“何をどう考えその式にしたのか”を子供達が考え説明できるような教育は必要でしょうね。
  • 回答No.29
レベル9

ベストアンサー率 46% (40/86)

まず始めに、提示された式が文章問題から式を立てなさいという前提に立っていることが重要です。

基本的に掛け算の構造は、(被乗数:a) × (乗数:n)で示されます。

例として2×5を考えます。このとき、日本語では、「2かける5」と読み、2を5回足し合わせることを意味します。

何が言いたいかというと、日本では、(a:1あたりの量)×(n:回数)の順で考えます。

よって、文章題から立式しようとすると、aとnの値がわかってしまうので、慣習化れたa×nの順番で答えることが大切だということで、順序の違いによる式には×をつけるということなのだと思います。

ただの「計算」を考えれば、どちらでも同じ事です。

[補足]
ちなみに、英語圏では、はじめに回数ありきの、(n:回数)×(a:1あたりの量)の順で立式することが慣習化されています。なので、同じ文章題でも、英語圏では5×2の順で表記されると思います。

読みも「2times5」が普通ですから。ここで、「2multiplied by5」と読むのなら「5回にわたって増殖される2」となり、2×5となります
  • 回答No.31
レベル9

ベストアンサー率 46% (40/86)

kumda-です。

ANo.30に対する回答です。

(1)>どうして「2かける5」は2を5回足し合わせることなのですか?

乗法は,一つ分の大きさが決まっているとき,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり,同じ数を何回か加える計算と考える。例えば,0. 1×3 ならば,0 .1+0. 1+0.1の意味である。累加の簡単な表現として,乗法による表現を用いることができる。さらに,乗法の意味は,基準にする大きさとそれに対する割合から,その割合に当たる大きさを求める計算と考えることができる。


(2)>日本には(n:回数)×(a:1あたりの量)という慣習もあることはご存知ですか?

そういった、習慣があるのはわかります。ただ、『小学校学習指導要領解説 算数編』では、

乗法の意味は,B を「基準にする大きさ」,P を「割合」,A を「割合に当たる大きさ」とするとき,B × P = A と表せる。

としています。また、例題として、

1メートルの長さが80 円の布を2メートル買ったときの代金は,80 ×2という式で表せる。同じように,「1メートルの長さが80 円の布を2.5 メートル買ったときの代金が何円になるか」という場合,布の長さが2.5 倍になっているので,代金も2.5 倍になるということから,80 × 2.5 という式で表せる。

と示しています。


(3)>ちなみに、英語圏では、・・・

こちらに関しては、すいません。日本語での考えが先にあったので、自信の根拠の補強のように使ってしまったかもしれません。


(1)(2)に関しては、文部科学省のHP上に公開されている『小学校学習指導要領解説 算数編』からの抜粋です。日付が平成20年6月付で最新版とは言いづらいですが。

http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_1.pdf
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

siffon9 さんの質問の趣旨が、『学校でのかけ算の順序に関する指導の根拠』との認識でしたので、結論としては、文科省が上の様に定めているから、でいかがでしょうか。

もちろん、『数学』としてのかけ算を考えると、また違った結論が出るかもしれませんが…。
  • 回答No.9
レベル11

ベストアンサー率 48% (117/239)

ANo.7です。

>5人に対して2個ずつですから、5人という基本の固まりに対して2個ずつ配る。であるから5×2となるという考え方もありではないかと思うのです。

小学校低学年(1年生も)では、かけ算に入る前に「まとめて数える」という考え方を学習します。「2ずつ」とか「5ずつ」とか「10ずつ」とかに対象物をまとめて、見やすく数えやすくする考え方です。「2ずつ」というのは「2を1セット」と見ます。今回のお菓子の問題も「ばらばらの2個」のイメージではなく「セットになった2個」「ビニル袋に入りの2個」のような状態が、小学校現場での「2個ずつ配る」です。
ですから、「A~Eさんにまず1個配り、もう一度A~Eさんに1個配る」というイメージにはなりません。(余談ですが、このイメージはわり算の中の等分除の指導の時に使います。)

>2×5の順番でないとダメというのは指導要綱?に明記されているのでしょうか?

ANo.8様がおっしゃるとおり、書かれていません。ですが、小学校算数の教科書を出版している会社6社全てが「これ」です。確かにANo.8様のお説の通り「ローカルルール」かもしれませんが、編集方針の異なる教科書6社が「国内統一」なのです。私がここで述べた以上の明らかな根拠があるのかもしれませんね。

あと、

○○○○○
○○○○○

の件ですが、「両方あり」です。これは「2が5つ」とも「5が2つ」とも見えます。
式は「答えを出すため」に大切なだけではなく「状態を表すため」にも大切なものです。「2個のセットが5つあるし、見方を変えたら5個のセットが2つある」と見て式を2つ作るといった学習活動は、数の感覚を豊かにするとされています。
最後に使うエピソードとしては適切でないかもしれませんがお許し下さい。トイレットペーパーの包装に「110mm×60m」のような標記がありました。私は「言葉としての式・状態を表す式」を考える上で、とても参考になるなあと思ったことでした。
  • 回答No.26

 すみません、#21で、大チョンボしました。

>さらに、「たこさんが8匹います。足は全部で何本?」と問います。

 馬鹿でえ~、あたしゃ(泣)。聞いた子どもから即座にツッコミ入ります、これじゃあ。orz(でも、間違いにツッコミ入れてもらうのは、関西人としては嬉しかったりします^^;)

 2匹のたこさんは足が8本だから、って思って、たこさんの数ではなく、足の数を書いてしまいました。

 書きたかったのは「たこさんが『2』匹います。足は全部で何本?」です。

 大変申し訳ありません。
  • 回答No.10
レベル14

ベストアンサー率 43% (3526/8069)

他カテゴリのカテゴリマスター
#8です。

#9さん> 私がここで述べた以上の明らかな根拠があるのかもしれませんね。

歴史的にみると,今の教科書は6社ともおっしゃるようになっているのですが,つい最近までは教科書にはそのような記述はなかったのです。それではどうしてこのような指導がなされていたのかというと,教師用の指導書(6社とも)がかなり昔から順序にこだわる指導をするように書かれていたのです。順序を逆にするのは間違いであると。

「いち単位あたりの量」×「いくつ分」にこだわって指導するようになったのは数教協の影響が強いというのが定説ですが,その遠山先生でさえ掛け算の数値の順序にはこだわっていませんでした。こだわったのは「いち単位あたりの量」とか「いくつ分」とかの概念であって,その指導のための便法として「いち単位あたりの量」×「いくつ分」という順序で指導することにして,でも何をいち単位の量とみるかについてはいろいろな考え方があってもよいとしていました。
それが指導書を作る人の間では,かける数値の順序を固定する方法にすり替わっていったのです。

数教協が50年代に入ってから唱えた「いち単位あたりの量」と「いくつ分」を重視する立場より前からあった掛け算を累加あるいは倍と捉える立場でも,掛け算の導入時には順序を固定していましたが,すぐに交換法則について言及し順序を固定するのは単に指導上の便法にすぎないことは明確でした。

今の状況は,掛け算には正しい順序があるとするものであって常識に従っている大人には到底受け入れるいれることはできません。
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