3次関数

質問

f(x)=x^3+3x^2-9xとする

y<x<aを満たす全てのx,yに対して

f(x)>{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}/a-y

が成り立つようなaの範囲を求めよ。

この問題で何をしたらいいかわかりません。
どなたか解答お願いします。

回答No.2

info22_

> f(x)>{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}/(a-y) …(1)

(x,y)がy<x<aを満たす時,(a-y)>0なので,両辺に(a-y)を掛けると(1)から

　(a-y)f(x)>(x-y)f(a)+(a-x)f(y)
右辺を左辺に移項し,左辺をAとおくと
　A=(a-y)f(x)-(x-y)f(a)-(a-x)f(y)>0
f(x),f(a),f(y)を代入し式を整理すると
　A=-(a-x)(a-y)(x-y)(y+x+a+3)>0
y<x<aを満たす(x,y)に対して　(a-x)(a-y)(x-y)>0　なので
　-(y+x+a+3)>0
つまり
　y<-x-a-3　(ただし、y<x<a)　…(★)
が常に成り立つようにaの範囲を定めればよい。
　これを満たすaの範囲はグラフを描けば　a≦-1
であることがわかります。

図を添付します(a=-1)。
赤斜線の領域が「y<x<a」の領域、緑斜線の領域が「y<-x-a-3」の領域です。
（境界は含まず）

[より詳しい解説]
aを-1より小さくすると、x=aの境界線は左に並行移動し、
y=-x-a-3の境界線は上に並行移動し、（★）の式は常に成り立ち、
aを-1より大きくすると、x=aの境界線は右に並行移動し、
y=-x-a-3の境界線は下に並行移動するので、（★）の式が成り立たない領域が発生します。従って 「a≦-1」であれば良いことになる。図の赤い斜線領域が全て、水色の斜線領域に含まれるようなaの範囲を求めればいいことになる。というわけです。

回答No.1

Har-mo-nize

2点P(y,f(y)),Q(a,f(a)) (a<y)を通る直線の式は
　Y={f(a)-f(y)}/(a/y)*X+{af(y)-yf(a)}/(a-y)
ですからX=xのときのYの値がf(x)より小さければ点(x,f(x))は線分PQより上に飛び出しています。
このことから区間(y,a)でf(x)が上に凸であることの必要十分条件は
　f(x)>{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}/(a-y)
となり、問題の不等式が得られます。
（この不等式は上に凸の定義式からも得られます。）

f(x)が上に凸になる範囲はf''(x)<0ですから、ここからaの範囲が分かると思います。
（f(x)の変曲点に注目してください。）