次の問題を教えてください

質問

やっぱりわからなかったため

{1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]から
{1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]への変形たどのようにしておこなっていますか？

また
{1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]から
{ π/x - (1/2)sin(2π/x) } / { 4 (x^2) sin^2(π/x) }への変形のしかたを教えてください

お願いします

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

最初の変形は何のことはありません。
[ ]内の第２項の分数をバラしているだけです。

　　{ π + π tan2(π/x) } / tan2(π/x)
　　　　= π + π / tan2(π/x)

です。
--------

２つめは、π/x = t と書かせて頂くと、[ ]内は

　　π - x / tan(t) + π / tan2(t)

ですよね。まず π でくくって

　　π { 1 + 1 / tan2(t) } - x / tan(t)

tan(t) = sin(t) / cos(t) と変形して

　　π { 1 + cos2(t) / sin2(t) } - x cos(t) / sin(t)

{ }内を通分すると、分子がうまいこと 1 になります。

　　π { ( sin2(t) + cos2(t) ) / sin2(t) } - x cos(t) / sin(t)
　　　　= π / sin2(t) - x cos(t) / sin(t)

普通に通分して

　　π / sin2(t) - x sin(t)cos(t) / sin2(t)

sin(t) の２倍角の公式から、

　　( π - x sin(2t) ) / sin2(t)

あとは t を戻して 1 / (4x^3) をかければ OK です。
--------

ちなみに、さっきもう一つあったご質問のほうに書き込もうとしたら
いきなり消えてしまったので一応こちらに書いておきます。
もう解決されたのかも知れませんが、念のため。以下↓
--------

< > 内の解釈はそれで問題ないと思います。
t = π/x という双曲線をイメージすれば、x → ∞ の極限で t → +0 です。
--------

　　tan(t) = tan(0+t) - tan(0)

ですが、これは逆算すれば納得出来るはずです。
tan(0) = 0 ですから、結局右辺は tan(t) のままです。
--------

６行目は 微分係数の定義そのものだと思いますが、
たしかに表現が若干いい加減な気がします。
z の関数 f(z) の、 z = a での微分係数の定義は

　　lim [h→0] { (f(a+h) - f(a)) / h } = d/dz f(z) | x = a

ですから、上の式に当てはめると

　　lim [t→+0] { (tan(0+t) - tan(0)) / t }
　　　　　　= d/dz tan(z) | z = 0
　　　　　　= 1/cos2(0)

となって、微分形になった時点で lim がとれていないと嫌です。
最終的には正しいですけどね。
--------

x を t で置き換えるのは勿論、極限を計算するためです。
そのままだと

　　lim [x→∞] x tan(π/x) = ∞ * 0

が不定形になってしまいますから。

お礼

回答ありがとうございます、理解できました。
前の質問は違うやり方でやって解決したので、削除させていただきました。しかし、このやり方もgtmrkさんのおかげでわかりました。

回答No.2

info22_

前の投稿で回答したものです。

>{1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+π{1+(tan(π/x))^2}/(tan(π/x))^2]
｛ ｝をばらして
　={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2} +π{(tan(π/x))^2/(tan(π/x))^2}]
　={1/(4x^3)}[-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2} +π]
最後のπを前に持ってくると
>{1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]

また
>{1/(4x^3)}[π-{x/tan(π/x)}+{π/(tan(π/x))^2}]
tan(π/x)=sin(π/x)/cos(π/x)より
　=[π-{xcos(π/x)/sin(π/x)}+π{cos^2(π/x)/sin^2(π/x)}]/(4x^3)

sin^2(π/x)で通分して
　=[πsin^2(π/x)-xcos(π/x)sin(π/x)+πcos^2(π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

[ ]内の項の順を入れ替えて
=[πsin^2(π/x)+πcos^2(π/x)-xcos(π/x)sin(π/x)}]/{4(x^3)sin^2(π/x)}
=[π{sin^2(π/x)+cos^2(π/x)}-xcos(π/x)sin(π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

sin^2(π/x)+cos^2(π/x)および2倍角の公式より
　=[π-(x/2)sin(2π/x)]/{4(x^3)sin^2(π/x)}

分母のxを[]の中に入れると

>{(π/x)-(1/2)sin(2π/x)}/{4(x^2)sin^2(π/x)}
となります。

お礼

回答ありがとうございます
よくわかりました