無限等比級数

質問

無限等比級数

1/x + 1/x(1 - 1/logx) + 1/x(1 - 1/logx)^2 + 1/x(1 - 1/logx)^3 + ・・・

この級数が収束するためのxの範囲をもとめよ、またそのときの
和を求めよという問題がありました。ただし　e　は自然対数logXの底である。

xの範囲は、 √e < x でよろしいでしょうか。
あっているかどうか、どなたか教えていただけないでしょうか。
人に聞かれて解答に、どうも自信がありません。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

これは
1/x × Σ_{n=0}^{∞} (1 - 1/log x)^n
の意味ですね？
（ (1 - 1/log x)^n は分母ではなく1/xの係数ですね？）
そしてxは実数の範囲で考えるのですね？
それなら √e < x でＯＫです。

1 - 1/log x = r とおくと無限等比級数の収束条件は
|r|< 1ですから、収束条件は

-1 < 1 - 1/log x < 1
となります。
すなわちこの級数は
0 < 1/log x ……(1)
1/log x < 2 ……(2)
の2つの条件を満たすxで収束します。

(1)の条件を満たすためには 1 < x が必要です。
(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

従って(1)と(2)の両方の条件を満たすためには
max{1,√e} = √e < x が必要です。

回答No.4

oodaiko

finetoothcombさん。
＞(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または　√e < x」 が必要です．
＞の誤りでないでしょうか？

おっしゃるとおりです。f(^^;;
失礼しました。

回答No.3

finetoothcomb

oodaikoさんの回答に関して、

(2)の条件を満たすためには √e < x が必要です。

とあるのは、

(2)の条件を満たすためには 「x < 1 または　√e < x」 が必要です．

の誤りでないでしょうか？　いずれにしても、最終結果は同じになりますが．自分の勉強のためにコメントしました．結果を自力で得ている質問者の疑問も、本来的にはそのあたりにあるのでは、と思ったもので．

回答No.1

ryuusennsisho

自信はありませんが、計算したらあなたと同じ答えになりました。