x^nが既約であるためにはnが二のべきである

質問

x^nが既約であるためにはnが二のべきであることが必要十分である。ということを説明しなければいけないのですが全くわかりません。誰か教えてください（汗）

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

＞x^nが既約であるためにはnが二のべきであることが必要十分である

そんなわけない．
x^n の段階ですでに「可約」なのは明らか
n=0の場合は，単元なのでそもそも考慮外．

問題を正しく述べましょう

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とはいえ・・・ x^n + 1 だろうという想像はつく

pを奇素数とする
(-1)^p + 1 = 0であるので
x^p + 1 は x+1 で割り切れる

nが2のベキではないとすると，
nは奇素数pを約数として持つので n=rp とする
x^r = X とおけば
x^n + 1 = X^p + 1 は X+1 で割り切れる
よって，
x^n +1 は既約ではない
つまり，
「x^n + 1 が既約」ならば「nは2のベキ」

逆の証明だけど・・・んーーずるっこしよう

つぎにnが2のベキである，つまりn=2^rとする
ここで，2n次の円分多項式F_(2n)(x)を考える
円分多項式は既約である．

F_(2n)(x) = (x^(2n)-1)/(F_1 F_2 F_4 ・・・ F_(2^{n-1})) = x^n + 1であることをしめす

帰納的に
F_1(x) = x -1
F_2(x) = x +1
F_4(x) = (x^4-1)/(x-1)(x+1)=x^2+1
F_8(x) = (x^8-1)/(x-1)(x+1)(x^2+1) = (x^4-1)(x^4+1)/(x^4-1) = x^4 +1
とわかるので
x^n+1 は 既約

とまあ，厳密には帰納法できちんとかけばいい
問題は「円分多項式が既約」ということを既知としてよいかという点．
有名な定理だからいいかもしれないが
いろいろな事情でダメかもしれない．

お礼

ありがとうございます。
記載ミスに気付いたのですが訂正の方法がわからなくて読み取っていただいてありがとうございます。
この内容で文章作ってみます。ありがとうございました。

回答No.2

metzner

多項式x^n が既約　であるためには　n=1　であることが必要十分です。

回答No.1

bgm38489

既約とは、分数の分母・分子が1以外の公約数をもたないこと（既約分数）。また、整数や整式が二つ以上の因数の積に分解できないこと。
ｎが２のべき乗でないとき、２７/8 は既約分数でないから、前者の意味ではないね。２のべき乗であっても、３６は、２，３，４，９，１２，１８を因数に持つから、後者でもないね。
問題文の全文をお知らせください。