背理法

質問

たとえば
「x=√2を満たす整数は偶数であることを証明せよ」
という問題があったとして
背理法ではx=√2を満たす整数が奇数であると仮定して、成り立たない示しますよね?
すると証明できてしまいますが、もちろんxは整数ではありません。

参考書などの解答例を見ますと、こういう危険性を考慮してないような気がしてなりません。

30年近い疑問です。

回答No.5

asuncion

＞x=√2を満たす整数

そもそも、こういう整数は存在するのでしょうか。
存在するならば、具体例を挙げていただけますか？

回答No.4

DJ-Potato

つまり、背理法という論法自体が疑わしい、ということではなく、
参考書の解答例では、背理法を用いるのに適した問題であるかの吟味がなされず、いきなり背理法を用いてはおるまいか、という事ですね。

参考書は誌面の問題もあるから、ある程度は省略する必要があるでしょう。
省略の範囲は、該当学年までに習うはずの公式、くらいは証明なく使用していい、と。
それ以上は、新たに公式や理論を証明しないと使ってはいけない、ということだと思います。

参考書が1+1=2の証明から始まってたら、売れないでしょうね。
そして、その吟味は、実は該当学年のレベルをはるかに越えてしまう可能性もありますからね。

中学校では「解なし」で済んでいたのに、高校に行ったら「複素数って何？」
ベジータ倒したらフリーザ出てきた、みたいな。

回答No.3

banakona

＃２です。

少しミスった。

＞背理法ではx=√2を満たす整数が奇数であると仮定して

とあるので、これは「ｘが整数であること」を前提にしています。だから＃２の『　』内はハッキリと意識すべきです。

＞すると証明できてしまいますが、・・・

まるで証明できては困るような書き方をしているけど＃２でも言ったように証明でき、これは正しい結論です。
「ｘが整数であること」という偽を前提にしているので、「ｘ=√2を満たす整数は偶数」という偽の証明結果が得られても不思議ではありません。

また、自明か否かは人によると思います。少し命題を変えます。

「x=√2を満たすｘは奇数ではないことを証明せよ」・・・A

０が偶数か奇数かを知らない人もいます。だから、我々にとっては√２が無理数であることは常識でしょうが、√２が奇数だと思っている人がいても不思議ではありません。１４０／９９等の有理数だと思っている人もいるかもしれない。

さて、Ａを背理法で証明すると、・・・
ｘを奇数と仮定すると、（中略）矛盾する。よってｘは奇数ではない。
という結論が出てきます。

「ｘは奇数ではない」には「ｘは（奇数ではない）有理数かもしれない」や「ｘは偶数かもしれない」も含まれるが、何の問題も無い。

質問者さんの言葉を借りれば「吟味は足りないかも知れないけど間違いではない」ということです。背理法という証明法に欠陥があることにはならないでしょう。

回答No.2

banakona

＞たとえば

なのでこの問題に拘泥しても意味がないのかもしれないけど、「　」内の問題は、正しくは、

「x=√2を満たす整数『が存在するとすれば、それ』は偶数であることを証明せよ」

ではないですか？

以下、質問のようにｘが奇数ではありえないことを示す。

これにより、「x=√2を満たす整数が存在するとすれば、それは偶数であること」が証明された。
証明結果として何も問題は無いと思う。

ここから更に「x=√2を満たす偶数が存在するか否か」を検証する。これは簡単な証明で否定できるので、ｘ=√2を満たす偶数は存在せず、先の結果と合わせてx=√2を満たす整数が存在しないことが示せて、めでたし^2。

存否の検証が不十分であることが問題だと言うなら、もう少し具体例を示して欲しい。

補足

実際には前半部分が正しい(と思われる)問題に対しての疑問です。
さほど正しいことは自明でないと思われるのに参考書等ではその吟味を行っておらず
私が作った問題のようになっていたらどうするのかと思ってしまうのです。

回答No.1

DJ-Potato

それは、土俵の外で戦っているからです。

「x=○○ を満たす整数」と言っているのだから、土俵は整数です。
整数は、偶数と奇数からなるので、奇数でなければ偶数です。
x=○○を満たす、整数じゃない数は、議論の外なのです。

「私は背が低いので、できれば180cm以上ある女性と結婚したいものです」
「じゃぁ、チェホンマンとかどう？」
くらいの無茶苦茶な話なのです。
どう間違っても、チェホンマンと結婚してしまう危険性はないのです。

補足

回答ありがとうございます。
つまり解答を書く時に、土俵の上にあるかないかの吟味を示さなくて良いのか、という疑問です。
問題の中には土俵の上にあることが明らかでないものも少なくないと思います。