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線形代数で困ってます

線形代数の問題です。    ( 5 -1 1  ) A=( 8 -1 2  ) に対し、A^n(n∊N)を求めよ    (-6 1 -1 ) という問題なのですが、Aを対角化して解こうとしたのですが、 固有値=1になってしまいうまく対角化出来ません。 そもそものアプローチが間違っているのでしょうか? 解る方いらっしゃれば回答お願いいたします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • metzner
  • ベストアンサー率60% (69/114)

固有値が1つしかないからと言って常に対角化不可ではありませんが、今の場合は固有空間が1次元なので対角化不可ですね。よって対角化をつかった作戦は使えません。 ケーリーハミルトンを使うと (A - E)^3 = O ですから、これを使いましょう。 x^nを(x-1)^3で割り算しましょう。 x^n = (x-1)^3q(x) + ax^2 + bx +c を得たとしましょう。a,b,cはご自身でお求めください。(微分を利用すれば容易です。nの大きさに注意してください。) この恒等式はxが行列の時にも成立します。 よって A^n = (A - E)^3q(A) +aA^2 +bA +cE です。(A -E)^3 = Oでしたから、 A^n = aA^2 + bA + cE です。先に求めたa,b,cを使い後は具体的に計算してください。 一般的にはジョルダン標準形を利用するといいと思います。

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質問者からのお礼

お二人ともありがとうございます。 双方共に参考になりましたが、 早かった方の方をベストアンサーとさせていただきました。 

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  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

固有値に重根がある場合には、対角化でなく ジョルダン標準化を考えましょう。 質問の A は、固有値 1 が 3 重根ですね。 行列 A-1E を実際に書き下してみると、 rank(A-1E)=2 であることがスグ判って、 そこから、A のジョルダン標準形は 3 次ジョルダン胞 1 個からなることが解ります。 ジョルダン標準形の巾乗については、 教科書でも見てください。ジョルダン標準形は、 対角行列と巾零行列の和で書けます。 この和の巾乗を、二項定理で展開すれば ok です。

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