解説お願いします。物理です。

質問

振動数n　振幅　a の単振動を行う質量Ｍの質点に振動の中心より√3a/2の点において、正の向きに大きさQの力積が突然くわえられたとすると単振動の振幅はどうなるか。という問題です。

解答では

√{(3a^2/4) + (1/4π^2n^2)(±πan＋Q/M)^2}　となっています。全く理解できなかったので、わかるかた解説お願いします。

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。

これは『はじめの状態』と『力積を受けた後』とで、
運動の式を分けて考えればよいでしょう。

数学をどこまで使ってよいかわかりませんので、
多少微積は使わせて頂きます。
（ただし、単振動の一般式を覚えているなら
高校物理でも理解できる回答にはしたつもりです。）

■■■ はじめの状態 ■■■

振動数 n, 振幅 a の単振動ですから、
位置 x(t) は

　(1)　　x(t) = a sin(2πnt)

とおいてよいでしょう。ここで 2πn は角振動数です。
位相は、時刻 t = 0 の時に振動中心を通るように決めました。
ここから、速度 v および運動量 p は、

　(2)　　v(t) = dx/dt = 2πn a cos(2πnt)
　(3)　　p(t) = Mv = 2πn Ma cos(2πnt)

となります。
さて、力積を受けた時刻を t = T としましょう。
すると、その時の位置は

　(4)　　x(T) = a sin(2πnT) = √3a / 2

です。『はじめの状態』で言えるのはこれだけでしょう。

■■■ 力積を受けた後 ■■■

力の場が変化しなければ、運動方程式の形は変わりません。
よって、力積を受けた後も『単振動』は続きます。
しかし、初期条件が変わりますから、
位置などの式のパラメーターは同じにはなりません。
そこで、位置、速度、および運動量の式を

　(5)　　x'(t) = b sin(2πnt + α)
　(6)　　v'(t) = dx'/dt = 2πn b cos(2πnt + α)
　(7)　　p'(t) = Mv' = 2πn Mb cos(2πnt + α)

と置くことにしましょう。
力積を受けたことにより、振幅と位相が変化したと思えばよいわけですね。
（※ ここでのダッシュは微分という意味では無いです。ただの区別です。）

さて、力積を受けた時刻 t = T での位置は変わらないはずです。
すなわち以下です。

　(8)　　x'(T) = b sin(2πnT + α) = √3a/2

しかし、速度と運動量は変わるでしょう。
特に、運動量の変化は受けた力積に等しいですから、

　(9)　　p'(T) - p(T) = Q

です。(3)(7)(8)式より、

　(10)　　2πn Mb cos(2πnT + α) = 2πn Ma cos(2πnT) + Q

この式をうまく変形できれば、振幅 b が求まりそうです。

■■■ 計算 ■■■

ここから先はただの計算ですので、ご参考程度に。
（手順にあんまり自信がないので鵜呑みにしてはいけません！）
ポイントは cos をどう処理するかだけでしょう。
まずは(4)(8)(10)式の両辺をそれぞれ２乗します。

　(11)　　{sin(2πnT)}^2 = 3/4
　(12)　　{sin(2πnT + α)}^2 = 3a^2 / 4b^2
　(13)　　(2πn Mb)^2 {cos(2πnT + α)}^2
　　　　　　= (2πn Ma)^2 {cos(2πnT)}^2 + 4πn QMa cos(2πnT) + Q^2

(11)(12)式から、

　(14)　　{cos(2πnT)}^2 = 1 - {sin(2πnT)}^2 = 1/4,
　　　　　　⇔ cos(2πnT) = ±1/2
　(15)　　{cos(2πnT + α)}^2 = 1 - {sin(2πnT + α)}^2
　　　　　　= 1 - 3a^2 / 4b^2

よって、(14)(15)を(13)式に代入すると、

　(16)　　(2πn Mb)^2 (1 - 3a^2 / 4b^2) = (πn Ma)^2 ± 2πn QMa + Q^2
　　　　　　⇔　(2πn)^2 b^2 - 3(πna)^2 = (±πna + Q/M)^2
　　　　　　⇔　b^2 = (3/4) a^2 + (1/2πn)^2 (±πna + Q/M)^2
　　　　　　⇔　b = √{ (3/4) a^2 + (1/2πn)^2 (±πna + Q/M)^2 }

となり、力積を受けた後の振幅 b が求まりました。

■■■　終わり　■■■

こんな感じでしょうか。
立式まではいいとしても、計算部分は自分で解いてみて下さいね。
もっとうまいやり方があるかもしれませんから＾＾；

お礼

詳しくありがとうございます！

自分でも解いてみます。

回答No.2

gtmrk

すみません、２つほどミスっていたので修正します。

●　(10)式の１行前

　『(3)(7)(8)式より』ではなく『(3)(7)(9)式より』です。

●　(16)式

　最後は b^2 = ☆ という２次方程式になっているので、
　b = ±√{☆} となるはずですが、
　振幅なので b > 0 と考えてしまってよいです。
　これを書き忘れました。

以上です。