積分についてです

質問

∫　ｘ^2√(ａ^2-ｘ^2)　ｄｘ

ってどうやってとくのでしょうか？
部分積分のようなきはしましができません

わかるかた教えてくださいお願いします

回答No.1

noname#224896 · ベストアンサー

x = a sinθ　（-π/2<θ<π/2）とおきます
これに応じて，
積分範囲も変化します．
例えば，
---------------
x | 0 → 1 |
-------------
θ| 0 → π/2|
-------------------
すると，
dx = a cosθdθ

∫　ｘ^2√(ａ^2-ｘ^2)　ｄｘ
＝∫　a cosθ(a sinθ）^2√(ａ^2-(a sinθ）^2)　dθ
＝∫　a cosθ(a sinθ）^2√（a cosθ）^2　dθ
＝∫　(a cosθ)^2 (a sinθ）^2　dθ
＝∫　a＾４( cosθ sinθ）^2　dθ

sinαcosβ= (1/ 2 ) { sin( α+β )+sin( α－β ) } より，

∫　a＾４( cosθ sinθ）^2　dθ
＝∫　(1/ 2 )^2　a＾４　( sin2θ）^2　dθ
半角の公式を使うと，
∫　(1/ 2 )^2　a＾４　( sin2θ）^2　dθ
＝∫　(1/ 2 )^3　a＾４　(1- cos4θ）　dθ
＝(1/8 )　a＾４∫(1- cos4θ）　dθ
＝(1/8 )　a＾４{ θー(1/4)sin4θ } + C (Cは積分定数)

積分範囲が
---------------
x | 0 → 1 |
-------------
θ| 0 → π/2|
-------------------
であれば，

(1/8 )　a＾４{ ０ー(1/4)sin4＊０ }
ー(1/8 )　a＾４{ π/2ー(1/4)sin２π }
＝ー　(πa＾４)/ 16

こんな感じです．

お礼

ありがとうございます。

それって暗記するのもですか？何かコツというかどういうときはどうするみたいなものありますか？