途中式を教えてください

質問

早速質問に入らせていただきます。

不等式の問題の一部なのですが
与えられている条件は
x+y+z=a+2b、xy≧abで、

xyz-ab^2≧0
を示したいのですが、

xyz- ab^2=a(xy-b^2)+xy(-x-y+2b)
≧a(xy-b^2)+ab(-x-y+2b)
=a(b-x)(b-y)
≧0

と、略解に書いてあったのですが、
一行目の変形からわかりません。
途中式を教えていただきたいです。

分かりにくくてごめんなさい。

回答No.1

gtmrk

こんばんは。
さて、条件式

　(1)　　x + y + z = a + 2b
　(2)　　xy ≧ ab

の元で、与式

　(3)　　P = xyz - a(b^2) ≧ 0

（便宜上、左辺を P とおきました。）
を、ご質問の略解にあるように変形するには、
すくなくとも(1)(2)の条件に加えて

　(4)　　a ≧ 0
　(5)　　b ≧ x
　(6)　　b ≧ y

という条件が必要であると思われます。
以下ではこれを仮定した上で話を進めますのでご注意下さい。
まず、(1)を

　(1)'　　z = a + 2b - x - y

と変形し、これを(3)の左辺に代入します。
すると、

　(7)　　P = axy + 2bxy - (x^2)y - x(y^2) - a(b^2)

となります。
このように、条件式を用いて『ある１文字を消去する』というのは、
等式や不等式の証明において最も泥臭いアプローチですので、
是非覚えておくとよいと思います。
さて、(7)式を変形していきます。まず a について整理し、

　(8)　　P = a * (xy - b^2) + xy * (-x - y + 2b)

a の無い項は xy でくくりました。
ここで、こちらで勝手に仮定した条件(5)(6)の辺々を足します。

　(9)　　2b > x + y
　　　　　　⇔　2b - x - y ≧ 0

となります。これと、条件(2)を合わせると、
P の第２項にかかった xy を ab に取り替えたものと比較できて、

　(10)　　P ≧ a * (xy - b^2) + ab * (-x - y + 2b)

です。(10)式の右辺を展開して整理すると

　(11)　　P ≧ a(b-x)(b-y)

となります。仮定した(4)~(6)式を用いれば、

　(12)　　P ≧ a(b-x)(b-y) ≧ 0

なので、(3)式が示されたことになります。
略解の意図するところはおそらくこんなところでしょう。
なんだかあまり美しくないですね…w