バネの力学的エネルギーの問題なのですが

質問

明日テストなのですが、先生に質問しても解説してくれなかったので困ってます。

m[kg]のおもりをつるすとL[m]伸びるつるまきばねがある。
このおもりをつけたまま鉛直につるし、ばねを自然の長さにもどし、支えていた手を離す。
重力加速度をgとする。

(1)ばね定数はいくらか

(2)ばねは自然長から最高いくら伸びるか

(3)おもりの速さはどの位置で最も速くなるか

お時間があれば答えてやってください。

回答No.2

gtmrk · ベストアンサー

No.1 に完璧な回答が出ていますが、
少し補足させてください。
微積を使わない高校物理のスタンスに則した解法です。
さて、

(1)は何も補足はありません。

(2)ですが、エネルギー保存の式を立てて解きます。
図の(A)は自然長の位置、(C)は最下点です。

　　(A)のとき：　運動E = 0, 位置E = 0, 弾性E = 0
　　(C)のとき：　運動E = 0, 位置E = -mgy1, 弾性E = k(y1)^2/2

です。最下点では速度が0になっているのがポイントです。
『(A)での力学的E = (C)での力学的E』とすればよいので、

　　0 = -mgy1 + k(y1)^2/2
　　　⇔　y1 = 2L

と簡単に求まります。ただし(1)の答え k = mg/L を使っています。
次に(3)ですが、これはイメージの問題です。
結論から言うと、

　　『最高速点は、力の釣合いの点』です。

なぜなら、合力が下向きのときは物体は下向きに加速を続け、
そのうち力の釣合いの点まで到達します。
ここを超えると、今度は合力が上向きに変わって減速が始まるので、
結局、釣合いの点で最高速ということになります。

これはもう計算などいりません。
釣り合いの点は問題文に書いてあります。

　　y = L

です。単振動の考えでいけば、この点は『振動中心』です。
振幅は当然 2L - L = L となります。

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微積を使わないとこんな感じになります。
本来なら No.1 の方のように【微分方程式】の形の運動方程式を解いて
運動の様子を記述するのが理想です。
（どちらかというと微分するのではなく積分します。）

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

1) ばね定数 k = 加えた力/伸びた距離 = mg/L g: 重力加速度
2) 運動方程式 mx'' = -kx + mg (下方向を + とする '' は2階微分) を t=0, x=0 という条件で解くと
x = L(1-cos(√(g/L)t))

　 なので自然長から 2L まで伸びますね。釣り合う位置の反対側までゆくということです。

3) v = x' = √(gL) sin(√(g/L)t) なので最高速度は √(gL)、 x=L のところで最速になります。

お礼

回答どうもです。
微分すれば簡単に解けるんですね。勉強になりました