無限２重積分の問題です。

質問

∫(0→∞)e(-x^2)dxの値を、∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdyの結果を利用して求めよ。

という問題です。
∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdy
=∫(0→n)dr∫(0→2π)dθe(-r^2)r
=2π∫(0→n)e(-r^2)rdr
=2π[-1/2*e(-r^2)](n→∞)
=-π(e(-n^2)-1)→π(n→∞)

と求まったのですが、これをどのように利用して
∫(0→∞)e(-x^2)dxの値を求めるのかが分かりません。
答えは√(π)となるようです。
どなたか教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

#1です。

書き忘れましたが
>答えは√(π)となるようです。
これば間違いです。

A#1で計算したように正解は
「(√π)/2」
です。

回答No.1

info22_

>∫(0→∞)e(-x^2)dxの値を、∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdy
これは
∫(0→∞)e^(-x^2)dxの値を、∬(R^2)e^(-x^2-y^2)dxdy
の間違いですね。

もしそうであれば
> ∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdy
∬(R^2)e^(-x^2-y^2)dxdy
> =∫(0→n)dr∫(0→2π)dθe(-r^2)r
=∫(0→n)dr∫(0→2π)dθe^(-r^2)r
> =2π∫(0→n)e(-r^2)rdr
=2π∫(0→n)e(-r^2)rdr
> =2π[-1/2*e(-r^2)](n→∞)
=2π{1/2-[1/2*e^(-n^2)](n→∞)
>=-π(e(-n^2)-1)→π(n→∞)
=-π(e^(-n^2)-1)→π(n→∞)

ここで
∬(R^2)e^(-x^2-y^2)dxdy
変数分離できて
=∫(-∞→∞)e^(-x^2)dx*∫(-∞→∞)e^(-y^2)dy
=2∫(0→∞)e^(-x^2)dx*2∫(0→∞)e^(-y^2)dy
同じ積分の積なので
={2∫(0→∞)e^(-x^2)dx}^2=π
となる平方根をとると
2∫(0→∞)e^(-x^2)dx=√π
∴∫(0→∞)e^(-x^2)dx=(√π)/2