カイ2乗の自由度について

質問

現在、統計学を独学で学んでいます。

カイ2乗の自由度について悩んでいます。

統計の本によると計算方法はn-1なのですが、
以下の問題の答えでは、n-1の答えで出る答えとは異なり、
困っています。どなたかお力をお貸しください。

設問　対応のない場合の独立性の検定について（　）内に当てはまる語句を答えなさい。

薬剤の服用と障害児出生との関連を調べたデータがある。それは、薬剤を服用した母親92人中、
障害児を生んだ母親は90人、また薬剤を服用しなかった母親208人中、障害児を生んだ母親は22人であった。このような関連性を客観的に調べる統計的方法は（　カイ二乗検定　　）であり、この場合の自由度は（　　？　　）である。

という設問です。

正解は、207.5なのですが、
何をどうやって計算した結果、207.5になるのでしょうか。
その過程の計算と、どうしてそうなるのかを教えていただきたく思います。

グループ2グループ（障害児を生んだ母親と健常児を生んだ母親）で、
分類は（服用と非服用）なので、合計4。
よって、n-1を考えると3になると考えたのですが。

よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

まず，検定しようとする帰無仮説を明確にしますと，
H：「薬を飲んだかどうかということと，障害があるかどうかということとは無関係である」
ですね．

　χ^2 の値を計算する際には自由度なんか全然関係ありません．
　薬(服用=1, 非服用=2), 障害(あり=1, なし=2)と番号を付けて，度数x[薬，障害]の値4通りを整理しますと
x[1,1] = 90
x[1,2] = 2
x[2,1] = 22
x[2,2] = 186
です．薬の服用・非服用それぞれのサンプル数は
a[1] = x[1,1]+x[1,2] = 92
a[2] = x[2,1]+x[2,2] = 208
障害あり・なしそれぞれのサンプル数は
b[1] = x[1,1]+x[2,1] = 112
b[2] = x[1,2]+x[2,2] = 188
全サンプル数は
N = a[1]+a[2] = b[1]+b[2]=300
です．

以上を使って
χ^2 =
((x[1,1]-a[1]b[1]/N)^2 )/(a[1]b[1]/N) +
((x[1,2]-a[1]b[2]/N)^2 )/(a[1]b[2]/N) +
((x[2,1]-a[2]b[1]/N)^2 )/(a[2]b[1]/N) +
((x[2,2]-a[2]b[2]/N)^2 )/(a[2]b[2]/N)
= 207.548...
ここまでが，(χ^2)の値の計算です．
　次に，「Hが正しいのなら，(χ^2)は自由度１のカイ２乗分布に従う」ということを使って，（カイ２乗分布の数表を用いて）検定を行う訳です．

　さてここで，自由度がどうして1になるかというと，この場合，薬を飲んだかどうかの２通り(n=2)と，障害があるかどうかの2通り(m=2)の組み合わせですから，

自由度= (n-1)(m-1) = 1

と計算されるわけです．

お礼

ご回答ありがとうございました！

自由度を短絡的にn-1とするものだと思っていたので、
意外でした。

しかし、分かりやすい説明で納得できました。

ありがとうございます！