連鎖律の問題です

質問

u(x,t)=Φ(x-at)+Ψ(x+at) ただし、Φ,Ψはは任意の関数、aは正の定数です。ここで、η=x-at,ξ=x+atとおくときdu/dxをdΦ/dηとｄΨ/dξで表そうとするとどうなりますか？
また、x、ｔを連鎖律で仲立ちとして使うときと、η、ξを連鎖律で仲立ちとして使うときとで解答が違うのはなぜでしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

それはもうめちゃめちゃ明らか.
∂u/dξ=∂u/∂x*∂x/∂ξ＋∂u/∂t*∂t/∂ξ
=∂u/∂x+1/a*∂u/∂t
が間違ってる. もちろん
∂u/∂η＝∂u/∂x*∂x/∂η＋∂u/∂t*∂t/dη
=∂u/∂x-1/a*∂u/∂t
も間違っていて, その結果として本来不要なはずの 1/2 が出てきてしまっている.

なんで ∂x/∂ξ が 1 なの?

お礼

∂x/∂ξのご指摘ありがとうございました。

補足

ξ=x+atで∂ξ=∂xから∂x/∂ξ が 1としたのですが・・・

回答No.5

alice_44

だから、d と ∂ は区別しろと…
常微分では dx/dy = 1/(dy/dx) だけど、
偏微分では、固定する文字に注意せにゃならない。
∂ξ/∂x は y を固定した ∂/∂x だか
∂x/∂ξ は η を固定した ∂/∂ξ なので、
∂x/∂ξ = 1/(∂ξ/∂x) にはならない。
η を固定して ξ を変えれば、a も変わる。
固定する文字が両辺で違うからね。
実際、x = (η+ξ)/2 なのだから、
∂x/∂ξ = 1/2 でなくては。

お礼

これから注意します。回答ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

ど～計算しても同じ結果になるはずだから, 違う答が得られたとしたらそれはあなたの計算が間違っているということになる. どこが間違っているかは知らん. 詳細を全部書いてくれればチェックするかもしれんが.

補足

それでは、詳細を書かせていただきます。
∂u/dξ=∂u/∂x*∂x/∂ξ＋∂u/∂t*∂t/∂ξ
=∂u/∂x+1/a*∂u/∂t
∂u/∂η＝∂u/∂x*∂x/∂η＋∂u/∂t*∂t/dη
=∂u/∂x-1/a*∂u/∂t
ここで、
∂u/∂x=1/2*∂u/dξ+1/2*∂u/∂η
u(x,t)=Φ(η)+Ψ(ξ)を代入して
∂u/∂x=1/2*(∂Φ/∂η+∂Ψ/∂ξ)
また、
∂u/∂t=a/2*∂u/∂ξ-a/2*∂u/∂η
u(x,t)=Φ(η)+Ψ(ξ)を代入して
∂u/∂t=a/2*(∂Φ/∂η+∂Ψ/∂ξ)
どうでしょうか？

回答No.2

alice_44

連立一次方程式を解いただけじゃないの？
(d は、ちゃんと∂で書かないと、意味が変わるよ。)

補足

「∂」の出し方が分からなかったのでdを使わせていただきました。「du/dξ＝du/dx*dx/dξ＋du/dt*dt/dξ,du/dη＝du/dx*dx/dη＋du/dt*dt/dη」は連立一次方程式を解いただけですが、∂u/∂x=1/2(∂Φ/∂η＋∂Ψ/∂ξ)となり、「du/dx＝du/dξ*dξ/dx＋du/dη*dη/dx, du/dt＝du/dξ*dξ/dt＋du/dη*dη/dt」は1/2がない∂Φ/∂η＋∂Ψ/∂ξになりました。

回答No.1

Tacosan

本題ではないかもしれませんが
「x、ｔを連鎖律で仲立ちとして使うときと、η、ξを連鎖律で仲立ちとして使うときとで解答が違う」
とはどういうことでしょうか? 具体例はありますか?

補足

x、ｔを連鎖律で仲立ちとして使うとは「du/dξ＝du/dx*dx/dξ＋du/dt*dt/dξ,du/dη＝du/dx*dx/dη＋du/dt*dt/dη」です。この場合は逆行列でdu/dx, du/dtを求められるとおもうのですが、以下のやり方では違った答えになります。
η、ξを連鎖律で仲立ちとして使うとはdu/dx＝du/dξ*dξ/dx＋du/dη*dη/dx, du/dt＝du/dξ*dξ/dt＋du/dη*dη/dt」です。