【数学？】1～24ｇの錘を円形に並べたバランス

質問

お世話になります。

数学の問題になるんでしょうか。
友達から相談されたのですが、どう考えても答えが出ないので質問させて下さい。

1、2、3・・・・24ｇの計24個の錘を円形に並べて回転させた際、
最もバランスの取れる回転をするよう錘を配置にするにはどうすれば良いのでしょうか？

色々並べて考えてみたのすが、単純なようで深く考えるとよくわからなくなりました。

何か法則でもあるのでしょうか？

ご存知の方よろしくお願いします。

回答No.4

noname#227064 · ベストアンサー

面白そうでしたので考えてみました。

基本的な考えはANo.2にも書かれている通り2個あわせて25gのペアを12組作ります。

組にした錘は隣に配置します。
例えば24時間アナログ時計の5時のところ1、4時のところに24を置きます。

次に、重心が中心から大きく外れないように半周したところに別のペアを配置します。
配置するペアは先ほど配置したペアの小さい方から半周したところに重さが+1の錘を配置します。
先ほどの例なら17時のところに2、16時のところに23を置きます。

このように4個1組でうまく配置していくと、重心が円の中心に重なります。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。
図を添えて頂きとてもわかりやすく理解できました。
ありがとうございます。

回答No.6

stomachman

ANo.5について，ちょっと訂正．N=m×nとしたときに，mかnのどっちかが奇数であること，という条件を書き落としました．

回答No.5

stomachman

ANo.3のコメント了解です．錘同士の間隔が等間隔であるってことですね．

　錘の個数Nが素数でない場合，N=m×nと因数分解したときに，錘を軽い順にm個ずつ，都合n個の組: {1,2,...,m}, {m+1,m+2,....,2m}, .... に分けて以下の要領で配置すると，それらの重心が中心に一致するようにできます．

　24個の場合，たとえばこれを3×8と分解することにしたとして，{1,2,3}の組，{4,5,6}の組, ...., {22,23,34}の組，と，都合8組に分けます．
　これらの組のうちどれかひとつを取って，その３個の錘を軽い順に時計回りに互いに(360/3=)120度の角度になる[つまり，最も軽いものを12時，2番目を4時, 3番目を8時の]位置に配置しますと，もちろんこれら３個の重心は中心からずれます．しかし，そのずれは，どの組を選んで配置してみても，全く同じ（量も方向も）になります．なぜかといえば，{4,5,6}の組であれば，4=1+3, 5=2+3, 6=3+3と考えると，「{1,2,3}の錘を互いに120度になるように配置した上で，さらにそれぞれの錘のところに3gづつを加えた」というのと同じことですが，あとから加えた「3gずつ」はバランスしていますから，結局「{1,2,3}の錘を互いに120度になるように配置した」場合のずれと全く同じになるからです．
　さて，このような組が8つあるので，ずれの方向が45度ずつ異なるようにこれらを配置してやれば．8つのずれが互いに打ち消し合います．なお，ある組のずれの方向がどっちになるかは，もちろん，その組のうちの最も軽い錘をどこに置くかで決まります．

　なので，8つの組をどんな順番にでもいいから選んで，
●3つの錘を軽い順にX回りに互いに120度の角度になる位置に置く．
●最後に置いた組の一番軽い錘の位置に対して，次の組の一番軽い錘の位置はY回りに45度だけ異なるところにする．
（ただし, X, Yはそれぞれ「時計」または「反時計」）

というルールを守れば，あとはどう配置しても，重心は円の中心に一致するわけです．
　（これ以外にも本質的に異なる配置の仕方があるのかどうかについては検討していません．）

　なお，この問題は「内角がすべて等しい凸N角形であって，辺の長さが1,2,...,Nであるものを構成せよ」という問題と本質的に同じである，ということも面白い点かも．

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。
詳細にご説明頂き感謝します。

回答No.3

stomachman

これはもしかしたら遠心分離機のような話であって，数学の言葉にすれば「円周上に等間隔に錘を取り付けた時に，円の中心と重心とが最も近く（できれば0に）なるような錘の割り当て方」を尋ねていらっしゃるのではないかな？
もしそれが質問の真意だとしたら，質問文の説明(「等間隔」という条件)が不足しているために，適切な回答が集まらないでしょう．その場合，補足をよろしく．

補足

ご指摘ありがとうございます。
そうですね、円の中心から各錘までの距離は等間隔で、
かつ錘同士の配置も24個なので15度刻みになります。
バランスが取れた回転というのは中心と重心ができるだけ
重なることになるということであってると思います。

イメージ的には1～24時までのアナログ時計の数字の場所に
錘を置いていく感じと言いましょうか。
そんな時計ないですけど、例え下手ですみません。

回答No.2

nyoho21

物理学だと思います。物理学の理屈から言いますと、「円の中心から等距離に、等しい質量のおもりがあればよい」です。

今回のおもりの総質量は1g+2g+…+24g=300gですから、極端な話をすると12時の位置に150g、6時の位置に150gのおもりを置けば安定すると思います。
このときのおもりの選び方ですが、まずはこういうおもりの組を考えてみましょう。

(1g,24g)、(2g,23g)、(3g,22g)、…、(11g,14g)、(12g,13g)

こうすると24個のおもりが12組に分かれて、さらに各組が25gずつになりますね。
150gずつに分けたいときは、6組づつとればよいです。

ですがこれはさすがに極端です。おもりの大きさを考えるとうまく回らないでしょう。
そこで、先ほどの25gの組を使ってこのような配置はどうでしょう。

12時の位置に(1g,24g)の組
6時の位置に(2g,23g)の組

1時の位置に(3g,22g)の組
7時の位置に(4g,21g)の組

というように、同様に5時と11時の位置まで25gの組を置いていきます。

組にしてはいけない、おもりはひとつずつ使わないといけない、という場合は以下が一番よいと思います。

12時の位置に24gを置き、中心を挟んで正面、6時の位置に23gを置く
24gを置いた位置から15°回転した位置に21gを置き、中心を挟んで正面に22gを置く。
21gを置いた位置から15°回転した位置、1時の位置に20gを置き、中心を挟んで正面に19gを置く。

次は20gを置いた位置から15°回転したところに17gを置いて、その正面に18gを置きます。

互い違い、とでも言いましょうか。このように置くと重さの偏りが小さくなり、バランスよく回ると思います。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。
小生生物学を専攻していたため物理の知識がないのですが
わかりやすく理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#152422

1+2+…+24=300なので、

角度(2π/300)(1+2+…+(k-1))と角度(2π/300)(1+2+…+k)の真ん中の角度(2π/300)(1+2+…+(k-1)+(k/2))

に対応する円周上の点に重さkの錘を置けば、

とりあえず、すべてのkについて

角度(2π/300)(1+2+…+(k-1))と角度(2π/300)(1+2+…+k)の間の弧の密度は互いに等しくなりますね。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。