地球上で正しい円を描く

質問

こんにちは。

もう20年も前、小学生の頃にクラスメイトが話していたことです。
「地球の上では、重力が働いているから、絶対に正しい円は描けない」
これは本当ですか？どういう条件であれば、正しい円が描けるのでしょうか。また、もし彼の言うことが間違いなら、どうして間違いなのでしょうか。
どなたかご教授下さい。宜しくお願いします。

回答No.5

daibutsuda · ベストアンサー

ユークリッド幾何学を説明するのは難しいですね。
いってしまえば＃４さんのおっしゃっているとおり「平坦な空間（平面も広義の空間に含む）」に関する幾何学（図形とかを扱う学問）です。
ユークリッド幾何学には５つの公理（前提条件）があるのですが、たとえば三角形の内角の和が１８０度である、というのはこれらの公理から導くことが可能です。
われわれが高校くらいまでに習う幾何学はすべてユークリッド幾何学ですから、普通の人が「空間」をイメージするとそれはユークリッド空間（ユークリッド幾何学が成立する空間）になります。
このため、質問者のクラスメイトの方が言っていたような「珍説」が発生するのではないかと思います。

有名なのが第５公理「一本の線と、その線上にないひとつの点がある場合、その点をとおりもとの線に平行な線は一本しか引けない」です。読んだら「あたりまえやんけ」と思ってしまうのですが、これはどうしても数学的に証明できないということがわかっていました（つまり、ユークリッドの仮定に過ぎなかったというわけです）。
そこで、「第５公理に従わない幾何学も構築できるんとちゃうか」と思った人がいて第５公理を「一本の線と、その線上にないひとつの点がある場合、その点をとおりもとの線に平行な線は何本でも引ける」にしてみたら、幾何学的に全く矛盾のない幾何学が誕生しました。これが「非ユークリッド幾何学」です。

非ユークリッド幾何学は何年ものあいだ幾何学界の置物となっていたのですが、アインシュタインが相対性理論でこの宇宙がユークリッド空間（ユークリッド幾何学が成立する空間）ではなく非ユークリッド空間であることを発見して以来、脚光を浴びるようになりました。
この辺については「非ユークリッド幾何学」で検索をかければいっぱい出てくることでしょう。

近代科学は、常識では考えられないような事実をわれわれに突きつけます。

・時速５０ｋｍのクルマを時速１００ｋｍのクルマが追い越していきました。
・地上にいる人は、後者のクルマが時速１００ｋｍに見えます。
・全社の車の運転手は、後者のクルマが時速５０ｋｍに見えます。

チョーあたりまえのことに感じられるのですが、相対性理論は次のようなことを言っています。

・光速の９９％で飛んでいる宇宙船を、光が光速で追い越していきました。
・地上にいる人は、光は光速に見えます。
・宇宙船の人にも、光は光速に見えます。

最後は、常識から考えると「光は光速の１％に見える」はずなのですが、そうはならないのです。
まさに、「事実は小説より奇なり」といったところでしょう？

お礼

たびたびのご回答有難うございます。お礼が遅くなりました。

ユークリッド幾何学というものについて、自分なりに検索をしてみましたが、なかなか私の頭のレベルに合った情報が見つからず、難しいものなのだなと思いました。
相対性理論の話も、大変なものらしいという程度しか認識していませんでしたが、「幾何学的に全く矛盾のない幾何学」が成立する宇宙にいると発見したというのは、なんだかスッキリして気持ち良いですね。光速の話も面白かったです。有難うございました！！

回答No.7

moby2002

なんか難しい方向へ話は進んでいますが・・・

それはおそらく球体のことでは？
地球上では重力の影響があり、正確な球体を作ることは
できないようです。

お礼

ご回答有難うございます。お礼が大変遅くなりました。

球体ですか！実際の造形なら、正確に作ることができないというのは納得できますね。例えば鋳型のようなものでも、鋳型それ自体がゆがんだ球体になっているということでしょうか。有難うございました！

回答No.6

grothendieck

「正しい円」とはなにかということが問題ですが、
「正しい円は直径と円周の比が
　　π=3.14159265358…
　でなければならない」。
というのは一つの受け入れ可能な判定条件でしょう。さて、今重力のことは忘れて曲がった面、例えば地球の表面上に円を書くことを考えます。10mくらいなら地球が平らでないことの影響はほとんどありませんが、地球に比べて小さくない円、例えば赤道に一致する円を描いたとします。このとき、直径とは赤道上の1点から北極(または南極)を通って地球の反対側に行く測地線ですから、地球を半周する長さになります。したがってこの場合直径と円周の長さの比は2になってしまいました。重力があると空間は平坦ではなくなります。したがって直径と円周の比がπではなくなり、正しい円は描けないとも言えます。地球ぐらいの重力では非常に大きな円を描いても検出は極めて困難と思いますが。

お礼

ご回答有難うございます。お礼が遅くなりました。

実のところ、皆様の回答を読んで、私のクラスメイトに反論なり賛同なりするためには、結局「正しい円」ってなんなんだろうと思っていたので、大変参考になりました。
いろいろな考え方でご回答頂きましたので、単純に中学校で習う定義を当てはめて考えるというのが却って斬新でしっくりきました。

でも、別のご回答にあったように、中心からの距離が同じ点を結んだらそれは正しい円なのではないのでしょうか・・・。私の考えは堂々巡りをしているのかもしれません。正しい円とは何なのか、考えながらもう一度皆様の回答を熟読したいと思います。有難うございました！

回答No.4

bttf2003

＞正しい円
とは、小学生の発想ならユークリッド幾何学上の円のことを言っているのでしょう。（ユークリッド幾何学とは曲率が０すなわち二次元では平坦な平面のことをいいます）

＞地球の上では、重力が働いている
と、ほんのわずかですが三次元空間が曲がっています。どのくらいか？いいますと、2.1*10^(-7)度ほどです。
例をあげると、ユークリッド幾何学の平面の半径１ｍの円が0.0000002ｍくらい短くなります。（0.9999998ｍの半径の円です）
これを「正しい円」と違っていると考えるか？同じとするかは、質問者さんの小学生の頃のクラスメイトの判断しだいです。
普通の小学生は、同じと考えるでしょうね。
違うと言うのなら、何故「違う」と言えるか理由を説明できなければダメです。
よって、彼（小学生）の言うことが間違っていると反論できるでしょう。

注：2.1*10^(-7)度という数値は、正確ではありません。
　　これより、大きい数値ではないと言う目安です。

お礼

ご回答有難うございます。お礼が遅くなりました。

重力が働くと空間が曲がるというのは、ＳＦなどでよく読む話ですが、地球上でもそんな風に働いていると思うと楽しいです。私なら、それはやっぱり正しい円じゃないと言いたい気がします。
正しいかどうかを自分で測って判断することは出来なくても、正しい円について考える学問があるというのは面白いと思いました。
詳しいご説明を有難うございました。

回答No.3

laputart

「正しい円が書けない」というのは正しくないですね。

■ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を混同しているのかと思います。

■ユークリッド幾何学とは私たちが小中学校で学ぶ平面的な幾何学で、３角形の内角の和が９０度になるものです。

■ところが非ユークリッド幾何学は３角形の内角の和が９０度にならないという考え方です。例えば地球を完全な球と考えても表面は平面ではありませんね。だから三角形の内角の和も９０度より大きくなるわけです。例えば地球儀の上で考えると実感がわきますが
「地球上が平面であるとする」と考えないと全ての少中学でも数学は正しくないという事になりますので
普通数学的には無視するのです。

お礼

ご回答有難うございます。お礼が遅くなりました。

ユークリッド幾何学と、非ユークリッド幾何学の違いのご解説、有難うございます。球状の地球の上でも、平面を作ることはできると思うのですが、きっとそういう問題ではないのですね。興味深いです。多分私のクラスメイトも、学校で教わるだけじゃない数学への興味のとっかかりとして大人から話を聞いたのでしょう。・・・物理学の問題ではなかったのですね。質問してよかったです。有難うございました！

回答No.2

Ulu_lun

円というのは、平面上に於けるある一つの点から同じ距離の点の集合ですから、地球が三次元的曲面であっても描けます。重力とは無関係に描けます。
私達が日常において平面と認識しえる程度の大きさでしたらコンパスなどを用いて描いた二次元的な円もほぼ誤差のない円となりうるでしょう。

お礼

ご回答有難うございます。

大人になってから思い返すと、単純に力学的な話だったのかなという気もしますが、No.1でご回答頂いたように難しい幾何の問題なのかもしれないし、興味深いです。
確かに円は同じ距離の点の集合、なので、重力とかで曲がっていても、ある点から同じ距離であればゆがんでいてもそれは正しい円、だという気もしますね。

有難うございました。

回答No.1

daibutsuda

ぜんぜんわかりませーん。（なら書くな！＜自分でツッコミ）

重力うんぬんといってるあたりから考えて、重力場の影響があるからと言うことなのかな？（重力が働いている範囲では、空間はゆがむことが知られています）。
重力場でゆがんだ空間内で円を書いたら、もちろんその重力場に沿った円が形成されるからそれはユークリッド幾何学で言うところの「円」とは違うものになりますが、測定すれば確かに円です（測定機器も重力場の影響でゆがんでるから）。

でもそんなこといったら宇宙そのものも平坦じゃないわけだから、どこでも正しい円なんてかけませんがな。ゆがんだ空間上で書いた円を、実在しないユークリッド空間の円と比較しても意味がない。

まあ、所詮小学生の言うことだと言うことで。

＃ちなみに、「紙に鉛筆で書く」という前提では「正し
＃い円」など書きようがない、と言う点については当然
＃と言うことで無視しております。

お礼

ご回答有難うございます。

ユークリッド幾何というものがどういうことなのか分からないので、折角のお答えがよく理解できなくて残念です。つまり、クラスメイトの言っていた「正しい円」というのは有り得ない世界の円で、地球上がどうとかいう問題ではないということですね。
有難うございました。