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ウィーンの変位則

プランクの公式 E(λ)=a/λ^5/(exp(b/λT)-1) a=2πc^2h b=ch/k ・・からウィーンの変位則を導きたいのですが b/λT=x'とおいた時 exp(-x')+x'/5-1=0 となるところはわかっています。 この式からx'を求められれば後は何とかなる 用ですが、この計算は少し工夫が必要だそうです。 ちなみにウィーンの変位則は λT=2.8978*10^(-3)   となるようです。 僕はもう、数学なんかずいぶん解いてないので マクローリン展開とか言われても 聞いたことあるなぁ・・・なんだっけ? ・・・という感じになってしまっています。 物理に詳しい方、数学の得意な方 なるべく簡単に教えてください。 よろしくお願いします。

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x' は使いにくいので,x と書かせてもらいます. (1)  exp(-x)+x/5-1=0 x=0 が解であることは一目でわかりますが, これは求める解ではありません. 少し調べてみると,プランク公式の極小値が x=0 に対応していることがわかります. ウイーンの変位則はプランク公式の極大値を求めるものですね. brogie さんにには何か誤解があるようです. brogie さんは x が1に比べて無視できるほど小さいと書かれていますが, x は(1)を満たすものとしてこれから求めるものですから, 1に比べて無視できるかどうかはまだわかりません. 実際,1より大きいことはあとでわかります. グラフを描いてみると,解の様子がわかります. (2)  f(x)=exp(-x) (3)  g(x)=-x/5+1 とおいて,曲線 y=f(x) と 直線 y=g(x) の交点のx座標が求めるものです. あとは,グラフを自分で描いてみてください. 交点が x=0 と x=5 付近にあるのがわかるはずです. 大体の値がわかれば,電卓で try and error でも簡単にできるでしょう. プログラム電卓ならもっと簡単. 力でやるなら,Cなり Fortran なりで,x を動かして f(x)-g(x) の値を出力させて探してもよい. もっとスマートに求めるのなら数値計算のニュートン法などがあります. ちょっとやってみたところ,答は x=4.96511 です.

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質問者からのお礼

レスが遅くなって申し訳ありません すごく良くわかりました siegmundさんの計算値をもとに エクセルでf(x)-g(x) を計算して 大まかに値を4.965と得ました (あまり厳密には求めなくて良いようなので・・・。) この解き方は目からうろこです。 一生懸命計算しようとしていたのがバカらしくなりました。 本当にありがとうございます。       多謝

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • brogie
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exp(-x')+x'/5-1=0 .....1式 このexp(-x')をテイラー展開をします。 exp(-x')=1+(-x')/1!+(-x')^2/2!+... x'=b/λT=(ch/k)/ λT=ch/kλT これを計算するとx'は1に比べ無視できるほど小さいので x'<<1なので、テイラー展開の...以下を無視します。 これを1式に代入します。 後は物理定数を代入して計算して下さい。

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