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二変数関数 高校数学

f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2について、x、y、の範囲をx≧0,y≧0の時の最小値を求めよ このときのx,yをもとめよ。 この問題の解の一部に(x+2y-3)^2≧0とありました。なぜ、この式がなりたつのですか?この右辺が9になる気がするのですが。 よろしくお願いします。

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回答No.2

>x+2y-3≧-3これを2乗して(x+2y-3)^2≧9になるんじゃないかと。 両辺が非負ならば 2乗しても同値だが。 >大概はこういう場合固定すると、一次関数か二次関数なのでしょうか?また、入試の回答では、固定するよりも一時定数といったほうがよいのでしょうか? 1次になるか、2次になるか、3次になるか それは問題次第。決め付けては いけない。 「固定」でも「一時定数」でも、どっちでも良いんじゃないの。 >x≧0,y≧0 という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。wのやり方を教えてください。 x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2=kとして、xの2次方程式とみると、xは実数解を持つから判別式≧0‥‥(1) それを計算すると、yの2次不等式になるが、yも実数解を持つから判別式≧0.‥‥(2) そこで出てきたkの最小値を(1)と(2)に代入して、(最小値を与える)xとyの値を確認する ← 十分条件の確認。

その他の回答 (2)

  • nattocurry
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回答No.3

> x+2y-3≧-3これを2乗して(x+2y-3)^2≧9になるんじゃないかと。 小さいほう(この式の場合は右辺)が負数(-3)の時点で、左辺^2≧右辺^2 は成り立ちません。 たとえば、-1>-3ですが、両辺を2乗すると1>9ではないですよね。 また、5>-3の場合、両辺を2乗すると25>9となります。 つまり、小さいほうが負数の場合、両辺を2乗すると、大きいほうの値によって、不等号の向きが変わると言うことです。

omggtd
質問者

お礼

ありがとうございます。かなりわかりやすかったです。 今回左辺が変数で不定、かつ右辺が負数ということでだめなのですね。

回答No.1

質問の意味がよくわかんないので、解を書いておく。 xについて平方完成してみると、f(x,y)={x-(3-2y)}^2+(y+4)^2-27 となる。 y≧0より y+4≧4 → (y+4)^2≧16、{x-(3-2y)}^2≧0 足すと {x-(3-2y)}^2+(y+4)^2≧16 よって、f(x,y)={x-(3-2y)}^2+(y+4)^2-27≧-11 で この時、y=0 で x-(3-2y)=0だから (x、y)=(3、0)。 別解として、yを一時定数とみて、x≧0より 3-2y≧0 と 3-2y≦0 の時の各々の最小値を求め(=最小値をyで求め)、次に yを y≧0で動かして、その最小値を求める方法もある。 x≧0,y≧0 という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。w

omggtd
質問者

補足

即席回答ありがとうございます。 たしかに質問わかりにくいですね。すいません。 x+2y-3≧-3これを2乗して(x+2y-3)^2≧9になるんじゃないかと。 一時定数とは固定するということですよね。固定すると二次関数になって軸で場合分けというわけですね。大概はこういう場合固定すると、一次関数か二次関数なのでしょうか?また、入試の回答では、固定するよりも一時定数といったほうがよいのでしょうか? >x≧0,y≧0 という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。wのやり方を教えてください。

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