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逆関数について
ｆ（ｘ）＝x^3+ax^2+(b－a－1)x という関数についての問題なのですが、 （１）ｆ（ｘ）がｘ≧０で増加するような点（a,b)の範囲Ｇを答えよ。 （２）ｙ≧０におけるｙ＝ｆ（ｘ）の逆関数をｘ＝ｆ^－１（ｙ） （ｘ≧０）とする。点（a,b)がＧを動くとき、 J=∫（０→ｂ）ｆ^－１（ｙ）ｄｙの最小値を求めよ。 という問題がついています。（１）は「a≧０かつｂ≧a+1 または a＜０かつｂ≧１/3a^2+a+1」と解けましたが、（２）において、解説ではｘｙ平面上の面積によってJの値をa,bを使って求めていますが、よくわかりません。a,bで表された式から先は理解できました。Ｊの値の求め方をどなたか解説していただけますでしょうか。 「^」の記号は、ｘ^ー１(ｘのー１乗）というように使い、∫（０→ｂ）は「０からｂまでの積分」を表しています。
- tetushi
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私の記憶と今の指導要領が同じなら、 逆関数の定積分はあまりとりあつかってないですよね。 しかたないので、自分で思いつかないといけないのですが。 f^-1(y)のグラフをじっと見つめましょう。 f^-1(y)、ないし、その不定積分を 直接求めるのはまず不可能なので、搦め手でいきます。 ヒント1 f^-1(b)は求められますか？ ヒント2 ∫（０→ｂ）ｆ^－１（ｙ）ｄｙを求められなくても ∫（０→f^-1(b)）ｆ（ｙ）ｄｙは求められるな・・・ ヒント3 じゃあ、長方形から・・・を引けば求められるんじゃないか？ ・・・が何かは考えてみてください。
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