sinとcosの微積分における関係について

質問

sinとcosは微積分に関して特別な関係があるようですが、ほかにも同様な関係にある関数というものはあるのでしょうか。

回答No.6

FT56F001 · ベストアンサー

> sinとcosが操作のたびに交互に出てくることと虚数単位iべき乗の結果がどこか似ているように
> 思ったことがあります。
> ご教示の諸式と（i）＾１＝i、（i）＾２＝－１、（i）＾３＝－i、（i）＾４＝１とが
> どこか似ているように思ったわけです。
オイラーの公式
e^(ix)=cos(x) + i sin(x)
の強力さでしょう。

この公式により指数関数と三角関数が親しい関係になるので，
(極端に言えば)三角関数の諸々の公式を覚える必要がなくなります。
加法定理
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
は，指数法則e^i(x+y)=e^(ix) * e^(iy)
から作り出せてしまいます。

A #3さんが書いてられる，
sin x = {e^(ix) - e^(-ix)}/(2i)
cos x = {e^(ix) + e^(-ix)}/2
の表示も，便利ですよ。

お礼

ご親切にご教示いただきありがとうございます。

補足

まえのご教示に対する補足の最後の部分でｓｉｎ、ｃｏｓとｉと１の二つの対に関する類似性は知識や理解力不足の錯覚なのでしょうか。

回答No.5

FT56F001

e^xという関数は，何階微分しても同じ形という意味で特別でしょう。
(e=2.71828; 自然対数の底)

複素数乗まで考えると，オイラーの公式
e^(ix)=cos x + i *sin x
というのがあります。これを使うと
cos,sinの微分の関係が出てくるので，
感動した覚えがあります。
(d/dx) e^(ix)=ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)
(d/dx)^2 e^(ix)=(i^2)e^(ix)=-cos(x)-i*sin(x)
(d/dx)^3 e^(ix)=(i^3)e^(ix)=sin(x)-i*cos(x)
(d/dx)^4 e^(ix)=(i^4)e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)

お礼

わたしも数学で感動できるとうれしいと思いました。ご教示ありがとうございました。補足に少し書きましたが、何か教えていただければ幸いです。

補足

ご教示で思い出したのですが、sinとcosが操作のたびに交互に出てくることと虚数単位iべき乗の結果がどこか似ているように思ったことがあります。このことには興味があったのですが複素数のことは全くと言っていいほど分からないので何かご教示いただけたら幸いです。ご教示の諸式と（i）＾１＝i、（i）＾２＝－１、（i）＾３＝－i、（i）＾４＝１とがどこか似ているように思ったわけです。sinとcosが１とiのような関係にあるように思えたのですが、これは単なる偶然でしょうか。

回答No.4

alice_44

「特別な関係」が何を意味しているのか、曖昧な質問ですが…
微分すると互いに移り合う という意味なら、そのようなものは、
e^(ax) (ただし a は 1 の冪根) と、その線型結合で全てです。
対象とする関数を、フーリエ級数展開してみれば解ると思います。
sin x = (1/2) e^(ix) - (1/2) e^(-ix)　とか、
cos x = (1/2) e^(ix) + (1/2) e^(-ix)　とか、
sinh x = (1/2) e^(x) - (1/2) e^(-x)　とか、
cosh x = (1/2) e^(x) + (1/2) e^(-x)　とか、
皆、そうですね。 これらに似たものは、いくらでも作れます。

お礼

もう少し勉強する必要があるということが分かりました。ご教示ありがとうございました。

回答No.3

info22_

sin(x)とcos(x)
∫sin(x)dx=-cos(x)+C⇔ (cos(x))'=-sin(x)
∫cos(x)dx=sin(x)+C ⇔ (sin(x))'=cos(x)
と似た関係

e^xとe^(-x)
∫e^(-x) dx=-e^(-x)+C ⇔ (e^(-x))=-e^(-x)
∫e^x dx=e^(x)+C ⇔ (e^x)'= e^x

三角関数と双曲線関数の関係
sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i) と cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2
双曲線関数の定義
sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2　と cosh=(e^x+e^(-x))/2

∫sinh(x)dx=cosh(x)+C ⇔ (cosh(x))'=sinh(x)
∫cosh(x)dx=sinh(x)+C ⇔ (sinh(x))'=cosh(x)

双曲線関数については習っていなければ（多分大学で習うと思う）
　f(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i) と g(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2
と考えれば「f(x)とg(x)の関係」と置き換えれば良いでしょう。
参考URL（双曲線関数）
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/hyper1.pdf

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/hyperTrigF1/

お礼

ご教示に沿って勉強させていただきます。どうもありがとうございました。

回答No.2

girlkeeper

どの程度のことを「特別な関係」「同様な関係」というのか不明ですが、

双曲線関数　ｓｉｎｈｘを微分するとｃｏｓｈｘになる。
　　　　　　ｃｏｓｈｘを微分すると－ｓｉｎｈｘではなくてｓｉｎｈｘになる。

　ｓｉｎｈｘ＝（ｅ^x－ｅ^(-x)）／２
　ｃｏｓｈｘ＝（ｅ^x＋ｅ^(-x)）／２

なので当然だけど。

お礼

三角関数より双曲線関数のほうが基本だと言っている人がいましたので、勉強したいと思います。ご教示に感謝いたします。

回答No.1

spring135

要するに関数とその不定積分(原関数)の関係を言っているのでしょう。

たとえば

x^nとx^(n+1)/(n+1)も「特別な関係」です。

積分の公式集を見てください。

特別な関係でないものはありません。

お礼

ご教示ありがとうございます。特別な関係と思ったのは勉強が足りないからだと思いました。