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正準変換とユニタリ変換

またまた質問させていただきます。  Heisenberg描像の量子論(質点の量子力学、および場の量子論)は古典論と対応するように作られているとされていると思います。そして古典論の正準変換に対応するものは量子論のユニタリ変換とされていると思います。しかし私は正準変換とユニタリ変換が対応するかは怪しい!!と思っています。  ユニタリ変換は行列で変換するのですから線形の変換にしかなりません。しかし正準変換はポアソン括弧を変えさえしなければ良いので線形である必要はありません。ハミルトニアンがH(p,q)で与えられる系があったとして、これに線形変換でないような正準変換をしてH(P,Q)が得られたとします。P,Qは正準変数ですからこれに正準交換関係を仮定して量子化していけない理由は見当たりません。これはH(p,q)とユニタリ変換で結ばれないので量子論としては全く別のものになってしまうのでしょうか。スペクトルは異なるのでしょうか。  これだけを見ると、正準変換の方がユニタリ変換より広いようですが、ユニタリ変換の中に正準変換に含まれないものがあるかもしれません。ある場の量子論の本を見ていると系の時間発展を無限小の時間並進のユニタリ変換として記述していたのでびっくりしました。異なる時刻の変数を結び付ける正準変換はあるのでしょうか(確かにポアソン括弧は変わりませんが…)

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  • 回答No.6

siegmund です. また,レスポンス遅くなりました. プレプリントサーバーまでご覧になるとは驚きました. 古典的に p-q 平面での trajectory を見ますと, 普通の変数(q,p)で書いた調和振動子は楕円(適当に規格化すれば円にできる)ですが, ポアンカレ変換したあと(Q,P)は軸に平行な直線になってしまいます. 作用 (1)  J = ∫{1周期} p dq を計算するときに,元の変数(q,p)ですと1周期が明確ですが, 新しい変数(Q,P)ですと1周期が明確ではありません. 単純に面積を計算しようとすると無限大みたいに見えて, 「あれれ?」ということになります. もちろん,ポアンカレ変換をよく見て1周期がどうなっているかを考慮すれば, (Q,P)でも(1)と同じ作用が得られます. J の量子化というのが半古典的量子化手続きだったことを考えると, ここらへんが何かヒントにならないでしょうか? つまり,ポアンカレ変換は1対1の変換でなくて, 無限に多重のマッピングになっています. もとの (q,p) で同じ状態が (Q,P) でも同じに見えるためには, 新変数で周期的境界条件のようなものが必要で, それが離散化スペクトルを導くことになっていないでしょうか? どんどんボロが出ているような気がする(^^;). こんな難しい話に手を出さなきゃよかったかな. でも,勉強にはなりました.

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質問者からのお礼

御回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ございませんでした。最初はおっしゃていることがよく分かりませんでしたが、  q = Q^2 + P^2、 p = (1/2)arctan(Q/P) のときに  J = ∫{1周期} P dQ として、ボーア・ゾンマーフェルトの量子化J=(n+(1/2))2πhbarを用いると  πq = (n+(1/2))2πhbar より、ハミルトニアンH=(1/2)qのスペクトルは  E = (n+(1/2))hbar となって正しいスペクトルが得られました。完全な量子論では  [q,p] = ihbar で量子化しなければならないはずなのでpが  -π/4≦p≦π/4 としてp表示の空間で考えるとq=ihbar(d/dp)となり、H=(1/2)qの固有関数は  exp(-ipq/hbar) で周期境界条件  exp(-ipq/hbar) = exp(-i(p+π/2)q/hbar) を要請すると(q/2)のとり得る値は  (q/2) = 2nhbar (nは整数) でスペクトルの間隔が2倍になり、困ったことに下限がなくなりました。まだ完全に分かったわけではありませんがひとまず締め切りとさせていただきます。

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  • 回答No.5

siegmund です. レスポンス遅くなりました. どっちが教えているのかわからん. どんどんボロが出ています(^^;). さて,grothendieck さんの No.1~No.3 へのお礼を拝見しました. やっぱりパウリは偉いですね. 普通の量子力学のテキストには (1)  [x,p] = i(hbar)   hbar = h/2π と量子化するのに (2)  p = (hbar/i) (d/dx) とすればよいと書いてあります. x の方を (3)  x = i(hbar) (d/dp) と微分演算子にしても良いわけですが, こちらは書いていない本もあります. で,こういう固定観念(?)がいけないというのですね. ちょっとやってみればわかるように, 任意の関数(適当な解析性は必要でしょうが) f(x) を使って (4)  p = (hbar/i) (1/f) (d/dx) f としても(1)の交換関係は成立します. だから f をどう選ぶかが問題ですが, その指針は p がエルミート性になるようにというのですな. なるほど. 2次元極座標だと,r 積分で体積要素(面積要素というべきか?) r dr が出てきます. 部分積分したり変形すると,f を √r に選べばよいことがわかります. なるほど,納得しました. 問題はハミルトニアンの演算子の順番でなくて, (4)の f の選び方にあったのですね. さて,ポアンカレ変換の件ですが,境界条件の話はどうなっているんでしょう. 普通の x,p 表示の調和振動子で,エネルギーは (5)  E_n = {n+(1/2)} になっていますが,こうなっているのは実空間で波動関数が無限遠で 消えるという境界条件をとったからです. 生成消滅演算子(数表示)のやりかたですと, 「粒子数」を1つづつ減らしていったときにちょうどゼロになる, という条件がついて(5)が出てきます. これら2つの表示で,同じ境界条件を考えたことになっている(はず)なのは 一目ではちょっとわからないように思えます. もちろん,生成消滅演算子を x と d/dx で書いてみれば, それらがエルミート多項式 H_n の n を1つ上げ下げする演算子になっているのは わかるのですが,まあちょっとした演習問題ですね. いずれの場合も境界条件のことを考えないと連続スペクトルになってしまいます. ポアンカレ変換した後でも境界条件は必要ですが, 新しい変数の P,Q で書けば両者がからんだ境界条件になっているわけです. ここらへんがキーポイントと思うのですが,すぐには見えません.

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質問者からのお礼

御回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ございませんでした。簡単には解決しないのですぐにはお返事できませんでした。KENZOUさんに教えて頂いたサイトからhttp://jp.arXiv.org/ へ行ってKlauderのquant-ph/9604032をダウンロードしてきました。まだよく分かりませんが、これによると物理的な内容は計量に依存するということの様です。coherent stateが使われていますが、座標と運動量を混ぜるような変換を考察するにはcoherent stateが良いかもと考えています。

質問者からの補足

調和振動子では通常波動関数はL^2 (自乗可積分な関数)とするので境界条件はQ→±∞のときψ→0となります。フーリエ変換して運動量表示で考えると運動量表示で考えると運動量表示でもL^2 に属するのでP→±∞のときψ→0でなければなりません。すると  q = Q^2 + P^2  p = (1/2)arctan(Q/P) はq→∞のときψ→0が境界条件ではないかと思います。しかしq表示ではL^2に属する固有関数はありません。したがってポアンカレ変換は空間もハミルトニアンのスペクトルも変えてしまうのでやはり量子力学では許されない変換ではないかと思います。

  • 回答No.4
  • KENZOU
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KENZOUです。 >パウリの「量子力学の一般原理」によると ゲッ、凄い本をお持ちなのですね。こういう真の古典という本は読むのに大変骨が折れると思いますが、モノを創造していくうえでの考え方の原点・思考の組み立てに非常に示唆・参考になるのでしょうね(←えらそうなことを言ってすみません、読み流してください)。 >例えば2次元曲座標では pr = (-i/√r)∂r √r この表式はまさにsiegmuntさんのご指摘されている >(3)から逆にたどれば,多分正しい量子力学的表式は >(pr)^2 でなくて (1/r)(pr)r(pr) の形で, というのに相当するように感じますね。 >>一方、最初から極座標で書くと >>H=-k{∂r^2+(1/r^2)∂θ^2}+V(rcosθ,rsinθ)(2) >>となります。 >という部分の意味がわかりません。 これは単にrとθに対応する一般化運動量pr=mr'、pθ=mrθ'を使って古典ハミルトニアンを書きますと H=k{pr^2+(pθ/r)^2}+V となり、ここでpr=-ih∂r、pθ=-ih∂θとおいて(h:hクロス)量子力学のハミルトニアンに移行しただけです。 >>古典系では、デカルト座標で非調和振動子にみえる >>ものも、別の座標では調和振動子にみえてしまう。 >というのは、前にやったポアンカレ変換 う~ん、と、ポアンカレ変換はH=k(p^2+q^2)のハミルトニアンを変換するとQ'=1、P'=0という奴ですね。もとのHが調和振動子の形に書かれていますから少しちがうような気がします、もっともポアンカレ逆変換というのを考えればそういうことが言えるのかなぁ、という気もしますが、、、これは例のレターを読んだとき、2次曲線の主軸問題のイメージで捉え、そんなもんがあるんやろなぁと気軽に受け取ったという次第です。これですという具体例を示せないのが残念です。

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質問者からのお礼

御回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ありません。ただ私は不勉強なものでお礼をするにもちゃんと勉強してからと思っているうちに遅くなってしまいました(しかしまだちゃんと勉強できているわけではありませんが)。ハミルトニアンの運動エネルギーの部分は量子力学ではラプラシアンになり、それを勝手に変えてはいけないのではないかと考えています。

  • 回答No.3

siegmund です. > (3)から逆にたどれば,多分正しい量子力学的表式は > (pr)^2 でなくて (1/r)(pr)r(pr) の形で, > 【古典化】(順番無視)の結果 (pr)^2 になってしまったのでしょう. なんて書いたのですが,変な順番だとハミルトニアンのエルミート性が おかしくなります. そうすると,やっぱり例えば「量子力学概論」(グライナー)にあるように pr = (hbar/i)(1/√r)(∂r) √r とするべきなんですかね. だんだん自信がなくなってきた.

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。演算子AとBがエルミートでもAとBが可換でなければ積ABはエルミートにはなりませんが(pr)^2は同じ演算子の2乗なので、prをエルミートとすれば(pr)^2もエルミートになるはずです。また1次元デカルト座標でp^2 を x p (1/x^2) p x というエルミート演算子に置き換えてからp→-id/dxとすると  x p (1/x^2) p x = 2/x^2 - d^2/dx^2 となって元のp^2= - d^2/dx^2 と一致しなくなります。したがってエルミート性は必要な条件ですが、それだけでは十分ではないのではないかと考えています。

  • 回答No.2

grothendieck さん,KENZOU さん,こんにちは. お二人とも一般人でよく解答されておられますが, とても一般人のレベルとは思えません. 物理屋です,と大きな顔していると,ここのサイトは恐いです(^^;). 何回冷や汗をかいたことか. KENZOU さん: > ご承知の通り、デカルト座標と極座標は正準変換で結ばれていますが、 > これは一体どういうこっちゃ?と初めて量子力学を勉強したときに思いました > (その後この問題は忘却の彼方に飛び去り、今回ブーメラン効果で戻ってきた(汗;))。 私も同じようなものです. > デカルト座標はやっぱり量子化において特別な地位を持っているようです. > ところで、デカルト座標の件で思いだしたのですが、 > 量子力学で2次元空間での中心力(V)が作用する粒子のハミ>ルト二アンをデカルト座標で書くと > H=-k(∂x^2+∂y^2)+V(x,y)  (1) > 一方、最初から極座標で書くと > H=-k{∂r^2+(1/r^2)∂θ^2}+V(rcosθ,rsinθ)  (2) > となります。 > ところで(1)の表式を改めて極座標で書き直すと > H=-k{(1/r(∂r)[r(∂r)]+(1/r^2)(∂θ)^2}+V(rcosθ,rsinθ) (3) となって、(2)のハミルトニアンとまるで似ても似つかぬ形となります。 似ても似つかぬというよりは,(3)の { } 内第1項をばらしたときの (1/r)(∂r) が(2)ではどこかに行ってしまっているということでしょう. (∂r)[r(∂r)] をばらすときに, 最初の偏微分が ( ) 内の r に作用する分を知らん顔してしまうと, (2)になります. したがって,やっぱり順番がキーポイントなのだと思います. 一般化座標で古典的ハミルトニアンを書いたときに, ポテンシャルの項は一般化座標しか含みませんが, 運動エネルギーの項は (a)  Σ a(i,j;q1,q2,q3) pi pj,   i,j=x,y,z のような二次形式になっていて, 一般には a が一般化座標の関数になります. つまり,一般化座標と一般化運動量が両方含まれる形になります. そうすると量子化したときの一般化座標と一般化運動量の順番に悩むことになります. デカルト座標は特別で, (b)  (1/2m) {(p1)^2 + (p2)^2 + (p3)^2} になっていますから,順番に悩むことなく (px)→(hbar/i)(∂x) で 素直に量子化できそうに思えます. 確かに,デカルト座標はシンプルなので,なるほどと思わせるところがあります. あれ,待てよ,そういうこと言うなら, (2)の古典版 (c)  (1/2m) {(pr)^2 + (1/r^2)(pθ)^2} + V(rcosθ,rsinθ) だって,運動エネルギーのところで共役な一般化運動量と 一般化座標とはからんでいません. (pr) のところはそれしかないし,(pθ)のところは r がからんでいるけれど それは別の変数だから順番には関係ないはずです. それじゃ,正しい量子化の結果は(3)になっているのはどういうこっちゃ? (3)から逆にたどれば,多分正しい量子力学的表式は (pr)^2 でなくて (1/r)(pr)r(pr) の形で, 【古典化】(順番無視)の結果 (pr)^2 になってしまったのでしょう. (∂θ)の方は素直で余分なθが入らないのはなぜか, といわれると困っちゃうんですが..... というようなことですと, デカルト座標での (px)^2 だって,正しい量子的表現は (1/x)(px)x(px) だったかもしれないし, (1/x^3) (px) x^2 (px)^(-1) x (px)^2 (まさかと思うが...(^^;)) だったかも知れません. デカルト座標だからといって,余計な x を入れたりせずに素直に量子化してよいという ことが最初から明らかということにはなりませんね. 結局,どういう量子化が正当かは,それから導かれる結果と実験とを比べて 決めるよりないように思います. 普段,あんまりこういうことは考えないので,大分悩みました. こういう基本的なことがわかっていない馬鹿な物理屋は もしかして私だけなのではないか,なんてことまで心配しました (こういう私が量子力学の授業持っていたりすることもあるんだ). 周りに雑談ついでにそれとなく話をもちかけてみたところ, 私だけ馬鹿ということはなさそうなのでほっとしました(^^). 素粒子論方面の人なら,物性屋の私よりもっと量子化の方法に敏感かも知れません. 物性論でもいつも full Hamiltonian を扱っているわけでなくて (というより,あまりそうしない), 考えている領域で有効な実効ハミルトニアンで議論することがしばしばです. 固体中のフォノンの理論などはまさにその典型です. まあ,あれはデカルト座標で量子化するから,そこはいいんでしょうね でも,なんだか複雑な量をもってきてハミルトニアンを書き, その量と正準共役な量とで量子化するような理論はかなりたくさんあります. そういう量子化は大丈夫だったんかな? KENZOU さんの例でも,角度依存性を落としてしまえば, 等方的な場合の有効理論(1次元型)と見なせますが, その場合に素直そうな r と (pr) で素直に量子化すると, 間違った量子化になっちゃうわけです. どうもまとまりのない話になりました.

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質問者からのお礼

御回答ありがとうございます。基本的にラプラシアンの固有値はデカルト座標でも曲線座標でも同じはずであり、曲線座標の場合はパウリの本に書いてあるようにすれば良いのではないかと考えています。一方、以前教えて頂いたポアンカレ変換  Q=√q sin2p  P=√q cos2p の場合、調和振動子H=(1/2)(P^2 + Q^2)にこの変換をするとH'=(1/2)q でスペクトルが全く違ったものになってしまいます。したがっておそらくデカルト座標から曲線座標への変換は量子論でも許される変換であり、ポアンカレ変換は量子論では許されない変換ではないかと思いますが、許される変換と許されない変換の境界がどこにあるのかが分かりません。なお、私が「ユニタリ変換は行列で変換するのだから線形の変換にしかなりません。」と書いたのは誤りではないかと思います。U(θ)を第3軸周りの回転の演算子としたとき、  P1' = U(θ)† P1 U(θ)=cosθP1 + sinθP2  P2' = U(θ)† P2 U(θ)=-sinθP1 + cosθP2 のようなものでは演算子のユニタリ変換がベクトルのユニタリ変換にもなっていますが、generatorを複雑なものにすれば変数の非線形の変換も可能ではないかと思います。

  • 回答No.1
  • KENZOU
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grothendieckさん、こんにちは、KENZOUです。 古典論の正準変換と量子論のユニタリ変換の関係は詳しいことは知りませんが、 >Bohr-Sommerfeld の量子化条件は古典論の正準変換で形をかえない。しかし、完全な量子論では、そのようなことはない。 >量子論に関しては、デカルト座標は特別な座標系である。これは、Schrodinger, Heisenberg, Dirac らは強く認識し強調していたことだが、どういうわけか近年の量子力学の教科書で強調されることは少ない。 >量子論におけるユニタリー変換の自由度と、古典論での正準変換の自由度というのは、まったく別のものだと思う方がよい。 >古典系では、デカルト座標で非調和振動子にみえるものも、別の座標では調和振動子にみえてしまう。量子系では、(デカルト座標での)非調和振動子と(デカルト座標での)調和振動子は別個の理論である。これは、operator ordering といった (hbar のオーダーの補正のみを与える)どちらかというと些細な問題とは根本的に違うのだろうと思う。 というのを読むと、極めてデリケートな問題だなぁと思います。ちなみにこのメッセージはフロリダ大の John Klauder 氏の学習院での講義を田崎先生がメモされたものらしいですが、詳しくは参考URLを追っていけばメールのやり取りですのでKlauder氏のOHPも見ることができます (http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/john/J1.html)。 ところで、デカルト座標の件で思いだしたのですが、量子力学で2次元空間での中心力(V)が作用する粒子のハミルト二アンをデカルト座標で書くと H=-k(∂x^2+∂y^2)+V(x,y)  (1) となりますね。 一方、最初から極座標で書くと H=-k{∂r^2+(1/r^2)∂θ^2}+V(rcosθ,rsinθ)  (2) となります。 ところで(1)の表式を改めて極座標で書き直すと H=-k{1/r∂r(r∂r)+(1/r^2)∂θ^2}+V(rcosθ,rsinθ) (3) となって、(2)のハミルトニアンとまるで似ても似つかぬ形となります。ご承知の通り、デカルト座標と極座標は正準変換で結ばれていますが、これは一体どういうこっちゃ?と初めて量子力学を勉強したときに思いました(その後この問題は忘却の彼方に飛び去り、今回ブーメラン効果で戻ってきた(汗;))。 結局、自然は両方を認めるのでなく、(3)のハミルトニアンの方を選んだのですね。感覚的には(2)のハミルトニアンの方がスッキリした形のように思うのですが。 整理すると、古典的な力学量を量子力学での演算子に置き換えるには、まずデカルト座標で記述し、その後演算子で置き換えないと間違うぞということで、古典力学と量子力学の狭間の鋭い棘に引っかからないように注意せよということですね(笑い)。しかし、自然は何故(3)を選ぶのか、という問題は未だによく知りません。 以上、だらだらと散文的な記述となりましたが、ご参考にでもなりましたら。

参考URL:
http://www.egroups.co.jp/messages/peu/499?viscount=-15&expand=1

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質問者からのお礼

御回答ありがとうございます。回答が0で終わるのではないかと心配していたのでうれしいです。教えて頂いたサイトも面白そうです。KENZOUさんはいろいろな物理のサイトをよくご存じですね。  パウリの「量子力学の一般原理」によると(こんな古い本を読むことになるとは思わなかった)線素が  ds^2 = gκλdqκdqλ の曲線座標では内積は  ∫ψ* φ Ddq  ( D=√|gκλ| ) で与えられ、演算子Fは  ∫ψ* Fφ Ddq = ∫(Fψ)* φ Ddq であるときにエルミートであると定義されています。運動量演算子はこの意味でエルミートであるべきであることと、正準交換関係から曲線座標での運動量演算子は(プランク定数を1としたとき)  pκψ = (-i/√D)∂(√Dψ)/∂qκ で定義されています。例えば2次元曲座標では  pr = (-i/√r)∂r √r  pθ = -i∂θ で、これを古典論のハミルトニアン  H=(1/2m){pr^2 +(pθ^2/r^2)}+V に代入すると  H=(-1/2m){1/r∂r(r∂r)+(1/r^2)∂θ^2}+V となって極座標での正しいラプラシアンが得られます。 >一方、最初から極座標で書くと H=-k{∂r^2+(1/r^2)∂θ^2}+V(rcosθ,rsinθ)  (2) となります。 という部分の意味がわかりません。 >古典系では、デカルト座標で非調和振動子にみえるものも、別の座標では調和振動子にみえてしまう。 というのは、前にやったポアンカレ変換  Q=√qsin2p  P=√qcos2p などがその例でしょうか。

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