- ベストアンサー
arctanxの高階導関数
arctanxの高階導関数 y=arctanxの高階導関数について y^(n)=(n-1)!cosy^n*sin(n(y+π/2)) が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ n=1のときについては示せましたがkのときについてで詰まってしまいました わかる方お願いします
- machinegunmgn
- お礼率28% (4/14)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
数学的帰納法を使う、ということですのでn=kについては証明する必要はありません。 n=kで成り立つ、と仮定します。 その仮定のもとでn=k+1で成り立つこと示せばよい。 つまり、 y^(k)=(k-1)!cosy^k*sin(k(y+π/2)) が成り立つと仮定する。 y^(k+1)=dy^(k)/dx=(d/dx)(k-1)!cosy^k*sin(k(y+π/2)) これを変形してk!cosy^(k+1)*sin((k+1)(y+π/2)) になることを示せばよいのです。
関連するQ&A
- 三角関数の問題教えてください。難しいです。
１． sin2X+cosY=1 sinY+cos2X=1 の連立方程式を解け。(０≦Ｘ≦２π、０≦Ｙ≦２π ２． nを奇数としf（x）＝｜sin ２π・x/n ｜とする。 (1)集合｛f(k)｜kは整数｝は何個の要素をもつか (2)ｍをｎと互いに素な整数とすると集合｛f(mk)｜kは0≦k≦(n-1)/2} はｍによらず一定であることを示せ。 急いでいます(汗） よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法~整数であることの証明
数学的帰納法の初歩(?)の質問です。 問。ｎは自然数とする。２数ｘ，ｙの和、積がともに整数のとき、ｘ^n＋ｙ^n整数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。 という問題なのですが、解説に i)n=1,n=2のときに成り立つことを示す ii)n=k,n=k-1であると仮定して、n=k+1のときにも成り立つことを示す とありました。 また、注がついており、 『x^(k+1)+y^(k+1)=(x^k+y^k)(x+y)-xy{x^(k-1)+y^(k-1)}である』とありました。 なぜ『』だからi)でn=2を、ii)でn=k-1を書かないといけないのですか？ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 難問導関数を教えてください
Y=(X^2-1)^n とおく。 このとき、(X^2-1) Y^((n+2) )+2XY^((n+1) )-n(n+1) Y^((n) )=0を示せ。 ただし、Y^(n) はYのn次導関数とする。 （^は何乗の意味です。） 数学の得意の方宜しくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数
数学サイトで問題を解いていたら分からない所があったので質問させていただきます。 定円に内接するｎ角形の面積で最大のものは、内接正ｎ角形の面積であることを示せ 解説 中心をO，半径をr, 各頂点をA1, A2, ・・・An, 角A1OA2=θ1, 角A2OA3=θ2・・・とする。n角形の面積は1/2r^2（sinθ1+sinθ2+・・・+sinθn)となる。ｙ＝sinθは凸関数なので, 相加相乗の式が成り立ち, 等号は, sinθ1=sinθ2=・・・=sinθnのときになる。 解説の「ｙ＝sinθは凸関数なので」以降から分かりません。 凸関数について自分で調べましたが分かりません。 相加相乗の式は高１のときに習ったから知ってはいるんですが どなたかわかる方教えていただけないでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法の不等式の問題です
数学的帰納法の不等式の問題です。 nは自然数とする。不等式 ２n が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ n=１のときはわかるのですが、n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときに成り立つことを証明する解き方がわかりません。 教えてください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分を絡めた数学的帰納法の問題
y=x^nのn次関数を求めよ。 という問題で、数学的帰納法を使い、n=1のときは理解できましたが、k+1のときの証明が理解できません。この問題の途中に出てきた式で y^(k+1)微分=d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^k という式を理解できません。yをk+1回微分したものなのになんでこうなるのでしょうか。これではk+2回微分した式になっている気がしてしまいます。 どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学 数学的帰納法
以下の問題がわかりません。 自然数ｎに対して、 A(n)=(cos2^n)(cos2^(n-1))・・・・(cos2)(cos1) A(n)=sin2^(n+1)/2^(n+1)sin1 ...(1) となることを証明せよ。 「数学的帰納法で示す n=1のとき(1)は成立する n=kのとき(1)が成立すると仮定する A(k)=sin2^(k+1)/2^(k+1)sin1」 ここまではわかります。 でも次に両辺にcos2^(k+1)をかけて cos2^(k+1)・A(n)=A(k+1) のようになりますが、ここがわかりません。 両辺にかけるのは、n=k+1のときの cos2^(k+1)・cos2^kだと思ったのですが違うのでしょうか。 それに、cos2^(k+1)・A(n)=A(k+1)も理解できません。 教えてください。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大至急お願いします！応用数学の問題がわからないです
大至急お願いします！応用数学の問題がわからないです！ 応用数学の問題がわからないです！ 問題１）y=sin⇔x=arcsiny y=cosx⇔arcsinyで表されるとき (1)arcsinx,arccosx,arctanxを対数関数を用いて表せ (2)(1)で得られた結果を用いてd/dxarcsinx,d/dxarccosx,d/dxarctanxを計算せよ 問題２）(1)Σ(N,n=0)e^inθ Σ(N,n=0)e^-inθを求めよ (2)上の結果を使ってΣ(N,n=0)cosnθ Σ(N,n=0)sinnθを求めよ。結果は sin1/2θ,cosθ,sinθ,sin(N+1)θ,cos(N+1)θを使って表せ 問題３）d^2X(t)/dt^2=-k/mX(t)の微分方程式を次の手順で解け (1)X(t)=X0e^λtとおき、これを代入してλの2つの解を求めよ (2)X(t)=X0(1)e^λ1t+X0(2)eλ2tが解になっていることを示せ (3)t=0のときX(t=0）=X0 dx(t)/dt|(t=0)=V0である解を求めよ 一人で考えたのですがまったくわからなかったです。宿題でだされたのですがまったくできなかったので詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
